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東京医科歯科大学2013数学第2問
ikashika_2013_math_2q-1.png

(2)が山場です。証明すべきものは割りと簡単に見つけられますが、それを示す方法が他分野を用いるため悩みます。

解答

解法のポイント
  • 文字の数を減らす
  • 弱い条件で求めてみる

(1)
とりあえずAを添え字の1、Bを添え字の2として計算します。
ikashika_2013_math_2a-1.png
各条件を見ていきます。
(i)整数同士の和、差、積は整数になるので成立します。

(ii)b+c=0になることを証明するので、0つまり、AとBの(ii)の左辺、もしくは(iii)の左辺でくくれると推測できます。ここではより文字数の少ない(ii)の活用を目指します。まずは、文字が多いので(iii)を使ってaあたりを消しておきます(まとめる際には余分な文字であるdは必ずb+cでくくれると推測できるので、初めにdを見ていけばもっと複雑でもまとめやすいと思います)。
ikashika_2013_math_2a-2.png
(iii)同様に計算するだけです。最後はb=-cを使っています。
ikashika_2013_math_2a-3.png

(2)逆行列は以下のようになります。
ikashika_2013_math_2a-4.png
簡単な(ii)と(iii)から行きます。いずれも=0の式なのでad-bcで割っていることは関係ありません。よって(ii)は-b-c=-(b+c)=0です。(iii)はd-(-b)-a=-(a-d-b)=0で必ず成立します。

次に本題の(i)を証明します。すべてが整数ということは、a,b,c,dのいずれもad-bcで割り切れるということになります。まずは文字が多くて発疹が出そうなので、減らします。
ikashika_2013_math_2a-5.png
となるためbとdがd2+bd+b2の整数倍になっていれば良いことになります。いきなりk倍とかおいて挑んでもいいのですが、もっとゆるい条件からせめてやります。割れるということは、絶対値を取ってやれば、割られる側が割る側以上でなければならないので、
ikashika_2013_math_2a-6.png
となります。

(I)b=0の場合
逆行列を持つことからad-bc=d2≠0なので、d=±1でありad-bc=1。

(II)b=±1の場合
ad-bc=d2+d+1。よって、d=0,1,-1の順に1,3,1となるが、3の場合はbを割れないため不適。よってd=±1(符号はbと一致しなくてよい)でad-bc=1。

(I)(II)よりad-bc=1。

(3)
(2)で求めたbとdから書き出すと、
ikashika_2013_math_2a-7.png
(4)
単純に(3)で求めたものを何回かけたらEになるか調べます。初めの1つ目はそのままなのですべてのnでE。次は-Eなのでnが2の倍数でE。三番目(Cとします)は計算します。
ikashika_2013_math_2a-8.png
3回かけて-Eなので、nが6の倍数でE。その次は-Cなので、nが3の倍数でE。5つ目はC2なので、nが3の倍数でE。6つ目は-C2なので、nが6の倍数でE。

以上から、3の倍数かつ2の倍数ではない自然数nにおいてちょうど3つとなります。
ちなみに、ちゃんと計算していませんが、自然数ではなく整数でもAn-1=A-1でMに含まれるので成り立つ気がします。
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