ひたすら受験問題を解説していくブログ
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灘中学校2013年算数:第二日目第2問
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ポイントを抑えておけば何の苦もない問題です。さっさと片付けて第3問にでも移りましょう。センター試験で出る感じなので、高校生以上の人は楽に解いて欲しい問題だったりします。

解答

解法のポイント
  • 3で割った余りは各位の和を3で割った余りと同じ
  • 足し算の余りは足すものの余りの和を割った余りと同じ((5+9)÷4の余りは5÷4の余りと9÷4の余りを足した2÷4の余りと同じ)
  • 桁数指定で0を入れた数字を作る場合、一番上の位は0にならない


まず(1)ですが、連続する4つの数字が3で割れるときとは、足して3で割れるときなので、そのようになる数字を選び、一番上の位は0にならないように並べてやればOKです。一番小さい数字が3で割って余りがいくらになるかで分類します(以下のように3で割った余りの和で考えてもいいですし、連続する3つの数は3で割れることを使ってもいいです。(1)だけなら後者で解いたほうが確実に早いです)。
割れるとき:3で割った余りは順に、0,1,2,0となってOKです。
1余るとき:1,2,0,1となって1余りNGです。
2余るとき:2,0,1,2となって2余りNGです。
よって1番小さい数が3の倍数のとき、すなわち、0,3,6,9が考えられますが、9の場合は他の数字が0から9に収まらなくなるので、0,3,6になります。
0のときは初めに0が来ないので3×3×2、3,6のときは4×3×2になるので、3×2×(3+4×2)で66個です。

次に、(2)ですが、(1)と同じく一番小さい数字を3で割った結果によって場合分けをしてみます。
割れるとき:3で割った余りは順に、0,1,2,0であり、一の位は余りが0になるものがこないとダメです。よって、0が一番小さい数字の場合は2×2+3×2=10通りになります(+の前が一の位が3、後ろが0です)。3,6の場合はそれぞれ3×2×2になるので、合計34通りです。

1余るとき:1,2,0,1ですが、(0,1,1),2と一の位が2余るパターンのみで、3×2になり、1余る連続した数の一番小さい数は1,4の二つがあるため12通りになります。

2余るとき:2,0,1,2なので、(0,2,2),1と一の位が1余るパターンのみで、3×2になり、2余る連続した数の一番小さい数は2,6の二つがあるため12通りになります。(実は2余ることは-1余ることと同じなので、計算せずとも対称性より1余るパターンと同じになることがわかったりします。)

以上より34+12+12=58個です。



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