ひたすら受験問題を解説していくブログ
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雙葉中学校2013年算数第6問
futaba_2013_math_6q.png
やり方が悪いのか結構めんどくさい問題です。しかも最初は長方形を作って正方形を作るという部分を見逃していて更にめんどくさいので一人で切れていました。難易度は時間的な消費を含めて中の上ぐらいでしょうか?

解答

解法のポイント
  • 決定的な条件が見つからないなら弱い条件を見つけて絞ってやる

(1)
使うパーツのうちで最も短い辺が最も長いのはAで3マスです。よって内側に正方形を入れることを考えれば、3+3+1で、一辺が7マス以上の外側正方形しかできません。小さいものから順番に検討していきます。
(I)7マスの場合
上で説明したことから7マスの外側正方形では内側正方形は1マスです。よって、中間のパーツとなる長方形は3×4マスになります。つまり12マスです。(問題文に長方形の形だけでなく使う種類のパーツも同じと書いていないのですが、たぶん同じなので)最低で各パーツを1度は使うため9+4+4=17マス以上でなければなりません。よって7マスの場合はあり得ません。

(II)8マスの場合
内側が2マスのみあり得ます。この場合は3×5マスの長方形が中間パーツです。つまり15マスなのでこれも(I)と同じ理由でだめです。

(III)9マスの場合
内側は1マスもしくは3マスの2通りがあり得ます。
(III-I)1マスの場合
中間パーツは4×5です。これは17マス以上ですが、17マスに一番小さい4マスのパーツを加えると21マスとなり、20マスの中間パーツは作れないため、これもだめです。
(III-II)
中間パーツは3×6で、(III-II)と同様な理由でダメです。

(IV)10マスの場合
内側は2マス、4マスの2通りがあり得ます。
(IV-I)2マスの場合
中間パーツは4×6です。こでも17マスにどう4や9を足しても24にならないためダメです。

(IV-II)4マスの場合
中間パーツは3×7で21マスであり、17マスに4マスを加えたものなのであり得ます。考えられるパーツとしては、A1,B2,C1かA1,B1,C2の二つです。あとは試行錯誤で見つけると、A1,B2,C1しか中間パーツの長方形を作れません。

これを4倍すればいいのでA:4個、B:8個、C:4個で10マス=100cmを一辺とする花壇です。

(2)

中間パーツは3×13で39マスです。最低限必要なパーツは9+4+5=18なので、これを引くと21マスです。21マスを9,4,5で作ることを考えると、9=4,5に注目して4,5のみでまずは考えてみます。鶴亀的に4で全部やってそれを5と交換することを考えます。
21÷4=5余り1です。1つ5にかえると、1増えるので1つかえると21=4×4+5×1となります。5と4の最小公倍数は20=4×5なので、他のパターンは考えられません。
これに4,5で9にするパターンを考えてやれば4×4+5×1、9×1+4×3+5×0の2パターンで、一番最初に引いた18を戻すと、9×1+4×5+5×2、9×2+4×4+5×1つまり、A:1,B:5,D:2かA:2,B:4,D:1しか考えられません。
これらで、少し試行錯誤してやれば、前者のA:1,B:5,C:2であることが分かるので、4倍すると、A:4個,B:20個,D:8個が答えになります。


(1)と同様に考えていきます。まず、内側の正方形は一辺2マス、4マス、6マスの3通りが考えられます。
(i)2マスの場合
中間パーツは5×7となります。つまり35なのでここから最低マス数の18を引くと、17マスです。①と同様に考えると、17÷4=4余り1なので、4×3+5×1です。9との交換を考えつつはじめの18マスを戻すと、A:1,B:4,D:2かA:2,B:3,D:1の2通りが考えられます。 これらを試行錯誤してやると(AやDなど制限の多いものから順に考えましょう)、後者で次の長方形が作れます。
futaba_2013_math_6a-1.png

(ii)4マスの場合
中間パーツは4×8となります。つまり32なのでここから最低マス数の18を引くと、14マスです。14÷4=3余り2なので、4×1+5×2です。9との交換を考えつつはじめの18マスを戻すと、A:1,B:2,D:3かA:2,B:1,D:2の2通りが考えられます。 これらを試行錯誤してやると、後者で次の長方形が作れます。
futaba_2013_math_6a-2.png

(iii)6マスの場合
中間パーツは3×9となり、27マスです。最低マス数の18を引くと、9マスです。つまり4×1+5×1なので、これを9との交換を考えつつはじめの18マスを戻すと、A:1,B:2,D:2かA:2,B:1,D:1になります。これも制限の多いAとかDから試行錯誤してやると、どうあがいても長方形が作れないことがわかります。

以上から上であげた図が正解です。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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