ひたすら受験問題を解説していくブログ
大阪大学2013年物理第2問
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公式を使う率が非常に高い問題です。覚えていないと結構面倒くさいです。また、誘導が逆にめんどくさい現象を引き起こしている気もします。

I
(1)
ただの暗記です。
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(2)
電圧降下の式(キルヒホッフの第二法則)を立ててやり、電流一定でIを求めます。
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(3)
これも暗記でしょう。自分はうろ覚えだったので、アンペールの法則(高校外ですが、任意の閉回路に沿った磁場の線積分は閉回路貫く電流に等しくなるとか何とか)で求めました。コイルの導線に直交する長方形で、コイルの長軸に平行な長さlの辺がコイルの内側と少し外側を通るようなものを考えれば、コイルの内部では磁場は一定で、少し外側では0なので、
handai_2013_phy_2a-3.png
II
(4)
Q=CVの公式そのままです。

(5)
これも公式そのままです。うろ覚えだったので、コンデンサーの電位に逆らってQをコンデンサーに詰め込む感じの式を立てると
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(6)
電圧降下の式にt=0を入れて変換します。
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(7)
コンデンサーの電気量は初め上側が+です。これが減ってき0になるためには、aの向きに流れる必要があります。
dQ/dt=-Iですし当然といったところですね。

(8)
これも公式です。1/(ωC)

(9)
ωL

【参考】
リアクタンスは抵抗のRのようなものです。まずコイルの流れにくさは自己誘導起電力によるものです。ωが大きい方が変化の割合が多くなり、また、Lが多いほど変化に対する自己誘導起電力が大きくなるので、ωLという形になります。
一方コンデンサの場合は、抵抗のようなものは溜めた電荷の逆流による電圧によって起こりますが、ωが大きい方が変化の割合が多くなるため、電荷が溜まる前に逆側に流れるため、ωが増えるとリアクタンスは小さくなります。また、Cが大きいほど同じ電圧で溜められるQも大きくなるため、逆に言えば電圧は低くなり、リアクタンスは小さくなります。よって1/(ωC)です。
(いずれも電圧降下の式からIについての微分方程式を解けば普通に求められます。)

(10)
リアクタンスは抵抗のRと同等のものなので、コンデンサのリアクタンスより
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(11)
コイルのリアクタンスより
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(12)
(10)と(11)で連立です。
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【参考】
わざわざこんなめんどくさいことしなくとも、電圧降下の式より
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となり、これはIをxに置き換えるとわかるように、単振動の方程式です。ωをバネの単振動と同様に求めれば、1/√(CL)

(13)
グラフの概形なのでIをtで微分してやればわかります。電圧降下の式より
handai_2013_phy_2a-10.png
となり、極値をとるためにはQ=0です。Q(0)≠0だったので、a,dに絞れ、(13)の直後に書かれているように抵抗と違いコイルなどは電力を消費しないので、エネルギーは減少しません(リアクタンスとRの違いはこれが大きいです)。よってIが減少している(a)ではなく(d)が答えになります。

(14)
(3)より、H2=nImaxなのでImaxを求める必要があります。エネルギー和が一定なので、
handai_2013_phy_2a-12.png
実のところ上で既にωを求めているので10か11に代入すればImaxは求まってしまいます。

(15)
誘導起電力は閉回路を貫くΦの時間に対する変化量と等しい大きさになるので、Φをもとめてtで微分すれば求めることができます。
まず、コイルの一巻きを貫くΦ1はBに面積をかけたものになるので、Φ=BAです。ここで、B=μ0Hであり、H=nIなので、Φ1=μ0nIAとなります。コイルの巻き数はnlなのでかけると
handai_2013_phy_2a-13.png
(16)
同様にCも求めます。ε0W/dでしたね。

うろ覚えだったんでこんな感じで求めました。まず電界を求めます。点電荷qから出る電場の合計q/ε0です。板ではもう一方の板向きに出ている電場は半分になるためq/(2ε0)となります(また、板ではすぐ隣にも電荷があるため、板に垂直に電場があると考えられます)。板全体の電荷がQなのでq=Q/Wとなり、Q/(2ε0W)です。
もう一方の板が作る電場も同様のものになるので、平行板の間ではQ/(ε0W)、平行板の外側では打ち消しあって0になります。
これをEd=Vに代入してQ=の形にすると
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以上を(14)に代入すると
handai_2013_phy_2a-15.png
となるので、分母のlAdを小さくすると大きくなります。

(17)
分子のWを大きくすると大きくなります。
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