ひたすら受験問題を解説していくブログ
武蔵中学校2013年算数第4問
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高校生とかにはかなり解きやすい問題ですが、小学生だと説明(証明)が少し難しいかもしれません。日ごろ公式だけ覚えてやっているような子には無理な問題になっています。
(3)(4)のおもりの乗せ方は試行錯誤で結構どうにでもなるものです。(3)はすべて挙げる問題なら細かい整理力が問われるので、結構な難易度になります。

(1)
偶数奇数の問題なので、着眼点も偶数奇数です。おもりは素数なので2以外はすべて奇数です。このことからおもりを偶数個使えば偶数が作れ、奇数個使えば奇数が作れます。
さて、天びんの左右におもりをのせますが、当然左右の偶数・奇数は一致します。なので、組み合わせは偶数と偶数、もしくは、奇数と奇数です。この偶奇は個数の偶奇と一致するので、いずれの場合も偶数個になります。

(2)
8個の場合、全部足すと19+23+29+31+37+41+43+47=270となるので、天びんには135ずつおもりが乗ります。これは奇数なので、おもりの個数は1,3,5,7しかあり得ません。天びんの片方が決まれば他方も決まるので、1個,3個のみ調べればOKです。
おもりが1個の場合:明らかに135は無理です。
おもりが3個の場合:最も重い組み合わせでも41+43+47=131であり、135には足りません。
よってどんな組み合わせでもつりあわせることは不可能です。

(3)
10個の場合は重さの合計が270+53+59=382となり、天びんの一方で191です。(2)と同様に考えれば、少ない個数の天びんのおもりの個数は1,3,5しかあり得ません。
おもりが1個の場合:明らかに無理です。
おもりが3個の場合:最も重い組み合わせでも191には達しません。
おもりが5個の場合:191の平均を考えれば191÷5=38.2です。これと使うおもりの差をまとめると、小さい方から順に、-19.2、-15.2、-9.2、-7.2、-1.2、+2.8、+4.8、+8.8、+14.8、+20.8となります。
あり得る組み合わせとしては38.2より大きいもの1個と小さいもの4個、大きいもの2個と小さいもの3個です(大きいもの4個と小さいもの1個、大きいもの3個と小さいもの2個、の2パターンは天びんの逆の皿に乗るので考えなくていいです)

(i)大きいもの1個と小さいもの4個
どんなに重くしようとしても+20.8-15.2-9.2-7.2-1.2となり足りなくなってしまいます。
(ii)大きいもの2個と小さいもの3個
38.2より小さいもののうちで大きいものの組み合わせは-9.2、-7.2、-1.2なので合計で-17.6となり、+4.8と+8.8より大きい組み合わせでなければダメです。

あとは総当り的に求めていきます。
(ii-i)+4.8と+14.8の組み合わせの場合
+19.6となり-17.6では-2足りません。ですが、ちょうど2小さくなるものはないので、NGです。

(ii-ii)+4.8と+20.8の組み合わせの場合
+25.6となり、-17.6では-8足りません。-7.2を-15.2に変えてやればOKです。よって23、29、37、43、59の組み合わせならOKです。

(ii-iii)+8.8と+14.8の組み合わせの場合
(ii-ii)より2軽いです。-9.2を-7.2に変えてやればOKです。よって23、31、37、47、53の組み合わせならOKということになります。

(ii-iv)+8.8と+20.8の組み合わせの場合
(ii-iii)より6重たいです。なので平均より小さいおもりも6だけ軽くなる必要があります。-15.2を-19.2に、-7.2を-9.2に変えてやる場合のみあり得ます。
よって19、29、37、47、59ならOKです。

(ii-v)+14.8と+20.8の組み合わせの場合
(ii-iv)より6重たいです。なので平均より小さいおもりも6だけ軽くなる必要があります。-1.2を-7.2に変えてやるか、-9.2を-15.2に変えてやるかです。
よって、19、29、31、53、59もしくは19、23、37、53、59の2通りです。

以上から、検討忘れがなければ、あり得る組み合わせは
一方の皿:23、29、37、43、59 他方の皿:19、31、41、47、53
一方の皿:23、31、37、47、53 他方の皿:19、29、41、43、59
一方の皿:19、29、37、47、59 他方の皿:23、31、41、43、53
一方の皿:19、29、31、53、59 他方の皿:23、37、41、43、47
一方の皿:19、23、37、53、59 他方の皿:29、31、41、43、47
の5通りのどれかです。

(4)
4回目は61からスタートで、4個の場合があり得る最小なので、まずは61、67、71、73を考えます((1)より偶数で2個の場合は明らかにつりあわないので)。
あり得るとしたら最大と最小の組み合わせになりますが61、73より67、71の方が大きくなるのでダメです。

次に、61、67、71、73、79、83を考えます。合計で434で片側217で奇数になります。なので考えられるのは片側3個です(片側1個は明らかに217未満なので即除外)
217の場合は平均72.3333333・・・・なので平均より重いものは3個です。なので平均より重いもの1個と軽いもの2個で考えればOKです(重いもの2個は反対側の皿になるので)。

重いものが73のときは67、71、73でも217にならないのでダメです。
79のときは67、71、79でOKです。
83のときは4重くなったので、4軽くしたいですが、ちょうどいいおもりの交換が出来ません。

よって、
一方の皿:67、71、79 他方の皿:61、73、83が答えです。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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