ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2013年算数:第二日目第4問
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(1)は簡単、(2)はそこそこな気がします。(1)がなかったらいい感じの難易度だったのにと悔やまれます。

解答

解法のポイント
  • 求めるべきものから逆にたどる
  • 誘導設問である(1)を利用する

(1)ですが、相似の三角形がいっぱいあります。多すぎてどれから手をつければという感じです。AB、ACを求めろって言われているので、とりあえずABを含む三角形は大きな三角形の頂点を直角の角から反時計回りにS、T、Rとすれば、三角形SBAとTBAが考えられます。次に、わかっている辺を含む三角形とABを含む三角形で共通の辺を持つものを探します。すると三角形SARもしくはTASがその三角形に該当します。どちらでも求められるので、TASさんから攻めてみます。
共通な辺を求めればいいので、辺の比よりSA=ST×3/5、AB=SA×4/5なので、ABは48/25になります。同様にACももとめれば、36/25になります。
(方程式的な処理を考えていいなら別のもっと発想のいらない求め方もあります。辺の比よりSB=AB×3/4、BT=AB×4/3となり、ST=SB+BTより、AB=48/25。ただし、(2)でSAを使うので上の解き方を想定している気がします)。

(2)は半径が4の円と3の円が出てくるので(1)を使ってくださいといわんばかりのものです。半径3の円の中心をOとします。(1)の三角形を導入してやるにはDOを結んでやればOKです。すると、EHの半分と直角に交わり、その半分の点はまさに(1)のAに当たる点になります。よってEH=2×SA=24/5となります(①)。

次にAHから両辺に垂線を引く、もしくはHFを結んでやるかのいずれかで解けます。
ここでは、HFを結んで解きます。

三角形EHFは3:4:5の直角三角形になるので、6×6/5×6/5で求まります(3,4,5の直角三角形の面積は6で、相似比が24/5:4なので)。三角形GHFはHからFGへの垂線が6-EH×4/5になることから、6×9/25となり、面積は2×6×9/25となります。合計すると(6+3)×6×6÷25=324/25になります。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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