ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京工業大学2013年物理第2問
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最終的な電圧を求める際に勘違いや早とちりをする、エネルギー保存則を個別の公式の枠を飛び出して使えない、ぐらいが考えられるつまずきポイントでしょうか。いずれにしても満点を狙ってしかるべき大問です。

[A]
(a)
電流を求めるためには、V=RIなので、Vが知りたいです。この問題は電磁誘導なので、V=dΦ/dtです。そしてその方向はレンツの法則通り、Φの変化を減らす方向になります。
Φは考えている回路内(棒1、棒2とそれに挟まれるレールからなる回路)の磁束なので、回路の面積×回路の磁束密度になります。よって、ΔΦ=-v0Δt・l・Bとなります(つまりは棒1が移動して面積がv0Δt・l減るだけの話)。
よって、V=dΦ/dt=ΔΦ/Δt=-v0lB。レンツの法則から回路内の磁力線を増やす方向に電流は流れるので、棒1では下向きに流れることになり、符号はそのままでOKです。
はじめのV=RIにもどると回路の抵抗はR1+R2なので、
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(b)
(ア)I2lB
公式そのまま。電流が強いほど、磁場が強いほど、受ける範囲が長いほど強くなるってのは感覚的にそのままで、それをかけてるだけですね。結構、こういう感覚的なものがそのまま掛け算の形になっているだけの公式は多いです。

(イ)v1∞=v2∞
V=RIなのでIが0なら、Vは0です。よって、考えている回路の面積の変化が0になります。なのでv1∞=v2∞となります。

(ウ)
イの式と運動量保存の式から、
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(エ)
一見、イで述べたことから、回路内の面積変化が0なので電圧は0と答えたくなりますが、○○の電圧と聞かれたときはそこに電圧計を入れて新たに回路を作り直してみるとわかりよいでしょう。
問題文の図においてコンデンサを電圧計に変えてスイッチを入れてみると、棒1も棒2もそれぞれと電圧計で作られる回路を考えてみれば、面積の増加=v1∞Δt・lとなっていることがわかります。よって、(a)と同様に棒において
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の誘導起電力が生じていることになり、電圧計にかかる電圧は棒とは逆方向になるのでマイナスをかけた値になります。電流は流れていないことを考慮すれば、この誘導起電力をちょうど打ち消して電気が流れない状態をつくる電圧がレール間にあることになるので、更にマイナスをかけたもの、つまり、上で求めた棒における誘導起電力が答えになります。

(C)
エネルギー保存則で行きます。全発熱量をQとすると、
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発熱量はRI2なので、各棒の電流が同じであることから、各棒の発熱量は各棒の抵抗に比例します。
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【参考】
保存則を使わず時間と共に棒の速度や発熱量がどうなるのかを見ていきます(最後の状態しかわからないとはいえ、保存則の偉大さがわかると思います)。回路の面積変化→電圧→電流→棒にかかる力と考えていって運動方程式を立てると(回路全体の抵抗をRとおいています)
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となります。右辺すなわち力の項が棒1と棒2のものを含んでウザイので、それに左辺もあわせてやります(質量で除して式を引きます)。また、右辺は±が違うだけなので右辺を消します(式を足します)。まあ二つ目は作用反作用の法則、つまり運動量保存の式そのものなので、初めの使わない宣言が半分嘘になりますけど。
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上の式から解きます。相対速度をΔv、右辺のΔvの係数を-k、t=0をx=0を棒1が通過した時刻とすると
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下の式を積分したものと連立させれば、
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となり、kが正の定数であることを考慮すれば、十分な時間が立つと棒1も棒2も(B)のウで求めた値に近づいていきます。
次に全発熱量Qを時間の関数として求めます。相対速度×l=面積変化であることに着目すれば、
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となり、t→∞でkを代入すれば(C)で求めた全発熱量Qがでます。

[B]
[A]と同じ流れなので違いに着目しつつ利用していきます(何が違うのかに着目する人、知っている問題を活用しようとする人は強いですね。家庭教師で教える際に一番最初に教えることであり、最終的に目指すところでもありますけど)。
(d)
(オ)
(b)同様に運動方程式からはじめます。アより、電流をIとすればローレンツ力はIlBなので、
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(カ)
電圧Vはコンデンサの電圧でもあるので、V=Q/Cです。Qを微分したものが回路全体のIであることを思い出せば、
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(キ)
Δtの係数を比較してやれば(求めるものをXと置いています)、
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(e)
Aではどう求めたかというと、棒1と棒2でできる回路の電流と保存則の式でした。なのでここでも同じことを試みます。
まず、A同様に棒の速さが一定になるといいことはローレンツ力が0であり、棒に流れる電流も0です。よって棒1と棒2でできる回路でみると起電力を生じない、つまり、イ同様に両方の棒の速度が同じになります。
これを踏まえて保存則を見てみると、Aと違うVの項があるのでこれを求めないとだめそうです。
このVは、エと同様に考えて、コンデンサと棒(どちらでもよい)を含む回路を考えてやればエと同じになることがわかります。よって、
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(f)
Aではエネルギー保存則でした。なので同じくエネルギーを保存させてみます。新しく追加されているものはコンデンサーなのでこの静電エネルギーを考慮するだけです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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2014/02/13(木) 18:57:05 | | # [ 編集 ]
運動方程式ですが,vではなくv'なので微分を表しているつもりです。
vではない速度をv'のように書くことも多いので,紛らわしかったかもしれません。ごめんなさい。
2014/02/13(木) 21:46:04 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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2014/02/13(木) 22:59:39 | | # [ 編集 ]
もはやよく覚えていませんが,確かに下向きに流そうとする起電力になるので,甲の方が高電位で,-をつけないとダメですね(エと同じなので)。
ご指摘ありがとうございます。
2014/02/13(木) 23:58:44 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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