ひたすら受験問題を解説していくブログ
灘中学校2013年算数:第二日目第5問
2-5.png
いよいよラストです。二日目のほかの問題に比べて難しいと思います。私が図形苦手ということもありますが・・・・。ただし、(1)(2)でイメージを助ける図を正確な形で与えられるので大分ましなほうです。これがなくて(4)を問われれば結構難しいと思います。

解答

解法のポイント
  • 面(ブロックの境)を意識する
  • 平行な面も意識する
  • 一段ごとに切り口がどのように変化するかを考え断面図をイメージする


(1)、(2)ともに、ブロックの境となる面は切ろうが曲がらないので、同じ面となる箇所を線で結んでやればOKです。(2)では同じ面となるものがどこなのか分からないところもありますが、縦横のブロックの数で辺を分割してやり、平行を意識して作図してやればOKです。そうすると以下のようになります。
a2-5-2.png
(3)ですが、凡人の私は境界の片側ではブロックの消失がないように分割して考えます。Eから右手前に行くブロックの境界(境界1)から右はすべてのブロックがあります。よって、3×6=18個。残りを境界2で分割するとその左奥もすべてあり、12個です。残りを数えると5個ありますので、合計35個になります。
空間把握のセンスがある人には左上手前の一個だけないことが一瞬でわかるかもしれません。

次に、直方体のブロックですが、境界1の左側はあきらかにだめなので、右だけ考えます。すると切り口を見ることによっていくつのブロックがだめになっているかわかります。切り口は4つの図形に分かれているため4つのブロックがだめになっています。よって3×6-4で14個の直方体があることが分かります。

(4)も同じ境界で区切った塊ごとに考えます。ここで注目したいことは、境界1境界2で分けた3つの塊のいずれでも、一段下の層になるごとに切り口が手前にきてブロックの体積が増えるということです。また、同じ層なら奥のほうが切り取られる部分が少ないため体積が大きくなります。
そのため、境界1の右側では赤色、境界2の左側では水色、境界2の右側では灰色の図形が最小となります。

赤は明らかに大きいので、水色と灰色を求めればいいでしょう。まずは灰色からいきます。BCをブロックの境界が6等分しているので、上から2層目の底面における面ABCの断面は下図の様になります(一層下になるごとに断面が左に1cmずつ動きます。注:関係のない面DBEの断面は省略しています。)。図示は省略しますが(2)の解答からわかるように、ただの三角錐で、1×1×1÷2÷3=1/6となります。
a2-5-4.png

次に、水色を求めます。灰色と同様に考えて(面DBEは一段で0.5cm左に行きます)、水色の図形の底面は下図のようになり、(2)の解答も考慮すれば、下図の赤で描いた底面に垂直な面できることによって三角柱と三角錐に分割できます。三角柱の体積は1/2×1÷2×3/2=3/8となり、三角錐を求めるまでもなく灰色より大きくなります。
a2-5-5.png
以上から、答えは1/6cm2になります。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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