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東京大学2007年前期物理第1問

バイオリンの弦は弓でこすることにより振動する。弓を当てる力や動かす速さの影響を,図1-1に示すモデルで考えてみよう。長さLの軽い糸を張力Fで水平に張り,糸の中央に質量mの箱を取り付ける。箱は,糸が水平の状態で水平面と接しており,糸の両端を結ぶ線分の垂直二等分線上をなめらかに動くことができる。図1-1(b)のように,糸の両端を結ぶ線分の中点(太矢印の始点)を箱の変位xの原点とし,太矢印の向きを変位および力の正の向きとする。箱の変位は糸の長さに比べて十分小さく,糸の張力は一定と見なすことができる。図1-1(c)のように,箱の上には正の向きに一定の速さVで動いているベルトがあり,箱に接触させることができるようになっている。ベルトから見た箱の速度をベルトと箱の相対速度と定義する。ベルトと箱が接触している状態で相対速度が0のとき,ベルトから箱に静止摩擦力が働く。静止摩擦係数をμとする。ベルトから箱に働く動摩擦力および糸と箱に働く空気抵抗を無視する。


todai_2007_phy_1q1-1.png


ベルトと箱が接触していないときの箱の運動を考える。図1-1(b)のように,糸の両端を結ぶ線分と糸がなす角をθ [rad]とする。必要があれば,|θ|が1に比べて十分に小さいときに成り立つ近似式sinθ≒tanθ≒θを用いてよい。

(1) 糸から箱に働く復元力の大きさをF,θを用いて表せ。また,この復元力の大きさをL,F,xを用いて表せ。

(2) 箱に初期変位か初期速度を与えると,箱は単振動をする。単振動の周期TをL,F,mを用いて表せ。


箱が単振動をしているとき,ベルトを一定の垂直抗力Nで箱に接触させたところ,ベルトと箱がくっついている状態と滑っている状態が交互に現れた。箱の変位xが0,箱の速度がV (すなわち,ベルトと箱の相対速度が0)となる瞬間があり,この瞬間を時間の原点t=0とする。t>0で,箱の変位xは図1-2のOPQRP’Q’R’に示すように周期的に変化する(2周期分を示している)。OPは直線,PQは正弦曲線の一部,QRは直線,RP’Q’R’はOPQRのくり返しである。また,直線OPは点Pで正弦曲線O’PQと接している。点Oから点Rまで箱の1周期の運動に要する時間をT’とする。


todai_2007_phy_1q1-2.png

(1) 0≦t≦2T’の範囲で,(a)箱の速度,(b)ベルトと箱の相対速度,(c)糸から箱に働く復元力,(d)ベルトから箱に働く静止摩擦力,を表す図を,図1-3の(ア)~(オ)からそれぞれ選べ。

(2) 箱がベルトに対して滑り始める点Pでの箱の変位sをL,F,μ,Nを用いて表せ。

(3) PQ間では,箱は問Ⅰ(2)で考えた単振動と同じ運動をする。箱の最大変位AをL,F,m,V,μ,Nを用いて表せ。

(4) ベルトから箱に働く垂直抗力Nを大きくすると,箱の最大変位Aと箱の1周期の運動に要する時間T’は,それぞれ,大きくなるか,小さくなるか,変わらないか,を理由とともに答えよ。理由の説明に図を用いてよい。


todai_2007_phy_1q1-3.png

久しぶりの東大解説です。さすがに出版物(○本)のスキャンはNGだろうと、作図も自分でやっているのですが、問題解いたり解説書いたりするのよりも作図の方が難易度が高いです。そのため、図が本物と多少違っていますがすみません。
テーマとしては物理物理していなくて、バイオリンってこうだったんだと、少し日常よりのテーマです。II(4)が難問ですが、数学的に厳密な証明ではなく、図でごまかしてOKなようなのでそれなりに部分点とかもらえそうな感じです。

I
(1)
図1-1(b)で考えます。図において糸に沿って張力Fの力が箱に繋がっている左右の糸からかかります。対称性からx方向に垂直な力は相殺され、x方向だけ残りますが、このx方向の力は糸ごとに-sinθをかけたものになるので、-2Fsinθとなります。大きさを聞かれているので絶対値をとって2F|sinθ|

(2)
自分の場合、単振動の周期というか単振動全般は運動方程式を立ててその微分方程式形から判断します。
mx''=-2Fsinθ
となりますが、これは単振動の形ではありません。しかし、おそらく振り子で見たことある形であり、似ている形は同じように処理するのが定石なので、問題文にあるように近時をつかいます。
最終的には単振動にしたいので、sinθをxの一次式にするか、x''をθ''の一次式にするかです。ここでは前者で行きます。作りたいものがxでわかっているものはθとLなのでtanθを使います。
todai_2007_phy_1a_2.png

II
(1)
(a)箱の速度は箱の位置の微分(接線)です。図1-2が直線とsinからなることを考えれば、その微分は定数とcosになります。定数の方は0ではないというかVであり、cosはsinで言うとπ/2ずれているので、元のグラフからπ/2ずれた奴を見つけてやります。
前者だけでも、エだとわかります。

(b)つまり箱の速度をvとするとv-Vです。よって(a)を縦にスライドさせたオになります。

(c)復元力はI(2)で近似したように-4Fx/Lです。よってxのマイナス定数倍なのでアです。

(d)静止摩擦力は静止しているときのみ、つまりv-V=0のみ働きます。(b)つまりオで0になっているところのみ働き、それ以外が0のものはイになります。
くそまじめにつりあいの式から相対的に静止している物体が等速運動、つまり力がつりあっていることから、4Fx/L=μNで求めてもいいです。

(2)
滑り始める=静止摩擦力をかかる力が超えるとき、なので、4Fs/L=μNです。
よって、s=μNL/(4F)

(3)
同じ運動をすると宣言しているので、初期条件を代入します。滑り始める時刻をt'としておきます。
todai_2007_phy_1a_3.png
第二式と第三式の位相が同じなので、2乗して1になる公式を使っています。

(4)
まずAですが、見るからにNの単調増加関数です。なので大きくなります。

一方、T'は直線部分と、sin部分を分けて考える必要があります。sin部分は各振動数がNに依存しないため、位相がどの位置に来るか、つまりPの位相に対応するtだけ小さくなり、それに直線部分はPの時間を足してやるだけです(対称性的にこの初めの部分だけ考えればOKです)。
簡単に言えば図のOO'がどうなるかに帰着するということなので、N1<N2とし、Nが変わった場合のサインカーブの位相をそろえて作図してやると、赤>青>緑となることがわかるのでN1よりN2のときの方がOO'が離れており、T'も大きくなることがわかります。
todai_2007_phy_1a_1.png

私のやる気の問題もあって結構説明になってない説明なので、図の細かい数学的な根拠が必要な人は以下を参照してください。

【参考】数学的解法1(上の内容を数学的に無理やり)
本問ではOPはsin部に接するので、Aが大きくなるとその傾きAcosも同じ位相の場合大きくなること、および考えるべき0からπ/2の位相ではcosが単調減少関数であることを考えれば、Aが大きい、つまりNが大きい方がPの位相は大きくなります。
また、同じ位相の場合にはAが大きくなるとAsinも大きくなるため、同じ位相でのxも高くなることがわかります。
さらに、OPにおいて傾きは常に直線よりsinの方が急なので、Pからx方向に進む場合、直線の方がsinよりもt方向に進むことになります。
以上から次の関係式が成立します。N1<N2とし、tOPは直線OPの逆関数、tO'P(N)はNによって決まるサインカーブO'Pの逆関数、s(N)はNによって変化するs、αはN1のときのPの位相をN2のsinに代入した値でs(N1)<α<s(N2)といった感じです。
todai_2007_phy_1a_4.png

言葉で書くのが面倒なので積分の形をしていてややこしいですが、
1行目:∫dtをxで置換積分
1行目→2行目:αにおいて積分を分割
2行目→3行目:αの定義からN2のサインカーブにおいてαになる位相、すなわちO'からのtの変化は、N1のサインカーブにおけるs(N1)となる位相、O'からのtの変化と等しい。
3行目→4行目:第一項の積分範囲に対する単調増加性から、s(N1)<αなので、積分範囲が狭くなると小さい値になる(上の図で言う青>緑の理由)。
4行目→5行目:OO'の形が出てくるので変換
5行目の不等号:積分区間において常に直線の傾きよりsinの方が急、つまり積分のカッコ内が常に正になり、その積分も正(上の図で言う赤>青の理由)

【参考】数学的解法2(Nの関数として表して微分)
角振動数がNに非依存であることから、位相のずれΦとOO'は比例する。つまりΦの単調増加性を示せばよい。単振動の初期条件より
todai_2007_phy_1a_5.png
あんまり考えずにそのまま計算しているせいか結構めんどくさい解法なので、試験中には厳しい感じです(というかどこかで間違っているのではと自分自身疑心暗鬼です)。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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