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東京大学2007年前期物理第2問
図2-1(a)の ように,導体でできた中空の円筒を鉛直に立てて,その中に円柱形の磁石をN極が常に上になるようにしてそっと落したら,やがてある一定の速さで落下した。 これは,磁石が円筒中を通過するとき,電磁誘導によりその周りの導体に電流が流れるためである。磁石の落下速度がどのように決まるかを理解するために,導体の円筒を,図2-1(b)のように,等間隔で積み上げられたたくさんの閉じた導体リングで置き換えて考えてみる。以下の問に答えよ。


まず,図2-2のように,1つのリングだけが水平に固定されておかれており,そのリングの中心を磁石が一定の速さvで下向きに通り抜ける場合を考える。z座標を,リングの中心を原点として,鉛直上向きが正になるようにとる。磁石はz軸に沿って,z軸の負の向きに運動することに注意せよ。

(1) 磁石がリングに近づくときと遠ざかるとき,それぞれにおいて,リングに流れる電流の向きと,その誘導電流が磁石に及ぼす力の向きを答えよ。電流の向きは上向きに進む右ねじが回転する向きを正とし,正負によって表せ。

(2) 磁石の中心の座標がzにあるとき,z=0に置かれたリングを貫く磁束Φ(z)を,図2-3のように台形関数で近似する。すなわち磁束は,区間-b≦z≦-aで0から最大値Φ0に一定の割合で増加し,区間a≦z≦bで最大値Φ0から再び0に一定の割合で減少するとする。ここで磁束の正の向きを上向きにとった。磁石が通過する前後に,このリングに一時的に誘導起電力が現れる。その大きさをΦ0,v,a,bを用いて表せ。

(3) リング一周の抵抗をRとしたとき,誘導起電力によって流れる電流の時間変化I(t)のグラフを描け。リングに電流が流れ始める時刻を時間tの原点にとり,電流の正負と大きさ,電流が変化する時刻も明記せよ。ただし,リングの自己インダクタンスは無視してよい。


次に,図2-1(b)のように,鉛直方向に問Ⅰで考えたリングを密に積み上げ,その中を問Ⅰと同じ磁石が通過する場合を考える。鉛直方向の単位長さあたりのリングの数をnとする。

(1) リングに電流が流れるとジュール熱が発生する。磁石が速さvで落下するとき,積み上げられたリング全体から単位時間当たりに発生するジュール熱を求めよ。

(2) 磁石の質量をM,重力加速度をgとしたとき,エネルギーの保存則を用いると磁石が一定の速さで落下することがわかる。その速さvを求めよ。ただし,このとき空気の抵抗は無視できるものとする。

Ⅲ 
図2-1(a)で,磁石のN極とS極を逆にして実験を行うと,磁石はどのような運動を行うか。その理由も示せ。
todai_2007_phy_2q2-1.png
todai_2007_phy_2q2-2.pngtodai_2007_phy_2q2-3.png

内容自体がすごく簡単な上に、やたらと誘導がついている優れ問です。一校に一問出しておくだけで合格平均点があがります。といったレベルの問題です。当然満点を狙っていきたい問題。

I
(1)
磁束の変化がどうなるのか考えて、それを打ち消す方向に電流が流れるように起電力が生じる。その結果生じる磁場や電流によって生じる力を求める。といういつもの奴です。

近づく場合
上からS極から近づくので、上向きに磁場が増します。よって下向きに磁場が生じるように電流が流れるということですが、右ねじの法則的に図2-2でいう右側が手前に流れることになります。上向きに進む右ねじが回転する向きが正なので、負ということになります。
この時、S極がリングの上にできることと同義なので、反発するため上向き、つまり正の向きの力になります。

離れる場合
N極が下方に離れていくので、上向きの磁場が減少します。よって上記の逆で正の向きに流れます。
この時、リングの下方にS極が出来ることになるので、N極とは引き合うため、上向き、つまり正の向きに力になります。

(2)
誘導起電力の大きさは単位時間当たりの磁束変化量、つまり|dΦ/dt|です。tに関する微分で図2-3ではtではなくz軸なので、dΦ/dt=dΦ/dz×dz/dt=vdΦ/dzとなります。dΦ/dzはグラフの傾きに当たります。よってΦ0v/(b-a)になります。

(3)
(2)で言ったように起電力は傾き×速度vです。電流はオームの法則よりV/Rであり、向きは(1)で考察した通りなので以下の図になります。
todai_2007_phy_2a_1.png

II
(1)
リングが発熱するときはI(3)のグラフでI(t)が0ではない時で、その大きさはRI2です。単位長さ当たりにn本のリングがあるので、電流流れているリングの数は、2n(b-a)になります。よって、
todai_2007_phy_2a_2.png

(2)
エネルギー保存則を使ってとあるので、使います。発熱したエネルギーも含めて保存されます。つまり、(1)で求めた単位時間当たりのジュール熱は力学的エネルギーのロスと同じになります。速さが一定なので、位置エネルギーのロスということになります。よって、高さは単位時間当たりv減るので、
todai_2007_phy_2a_3.png

III
電流の向きは逆になるが磁石が受ける力の向きと大きさは同じになるため、同じ運動方程式になり、同じ運動を行なう。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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