ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2008年前期物理第2問
図2-1のように,電圧を自由に変えられる直流電源とコンデンサーAおよびコンデンサーBを直列につなぎ,コンデンサーAと並列にネオンランプをつなぐ。このネオンランプは図2-2に示す電圧-電流特性を持ち,端子間にかかる電圧がVonに達すると点灯する。点灯したネオンランプは,電圧はVonを下回っても発光を続けるが,電圧がVoffまで下がると消灯する。なお,ネオンランプの電気容量は無視できるものとし,コンデンサーA,Bの電気容量をそれぞれCA,C Bで表す。


すべてのコンデンサーを放電させた後,電源電圧Vを0から少しずつ上げていくと,ある電圧V1でネオンランプが点灯し,その後,消灯した。以下の問に答えよ。ただし,答はCA,CB,Von,Voffを用いて表せ。また,ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間,電源電圧は一定であるものとしてよい。

(1) このときの電源電圧V1を求めよ。

(2) 点灯直前にコンデンサーA,Bに蓄えられていた静電エネルギーをそれぞれWA,WBとおき,消灯直後にコンデンサーA,Bに蓄えられている静電エネルギーをそれぞれW’A,W’Bとおく。この間の静電エネルギーの変化ΔWA=W’A-WAおよびΔWB=W’B-WBを求めよ。

(3) 電源は,電源内で負極から正極へ電荷を運ぶことにより,ネオンランプおよびコンデンサーにエネルギーを供給している。また,ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間に電源が運んだ電荷の量は,この間にコンデンサーBに新たに蓄えられた電荷の量と等しい。ネオンランプが点灯してから消灯するまでの間に電源が供給したエネルギーWEを求めよ。

(4) 点灯してから消灯するまでの間にネオンランプから光や熱として失われたエネルギーWNを求めよ。


ネオンランプの消灯後,さらに電源電圧VをV1から少しずつ上げていくと,ある電圧V2でネオンランプが再び点灯し,その後,消灯した。以下の問に答えよ。


(1) 問Ⅰにおいて,点灯してから消灯するまでの間にネオンランプを通過した電荷の量をQとする。電源電圧VがV1を超えてV2に達するまでの間,コンデンサーAにかかる電圧VAをCA,CB,Q,Vを用いて表せ。ただし,この間,ネオンランプに電流が流れることはないため,図2-1の回路は図2-3の回路と等価である。また,電荷がコンデンサーを通り抜けることはないため,コンデンサーA,Bに蓄えられている電荷をそれぞれQA,QBとおけば,コンデンサーAの下側の極板とコンデンサーBの上側の極板をつないだ部分に蓄えられた正味の電荷の量QB-QAはVによらず一定であり,Qと等しいことを用いてよい。

(2) 点灯時の電源電圧V2をCA,CB,Von,Voffを用いて表せ。
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解説

やたらと誘導がついていて、その通りにやっていけば解けてしまう問題です。難関校をめざす人は誘導無や設問飛ばしにあっても解ける力が欲しいところです。力学以外の分野においてもエネルギー保存則はかなり有効なので、こういう問題を解いた後には、エネルギー保存則をどのように使い、そのためにどのような事前準備(その前の設問)をしているのか整理しておきましょう。

I
(1)
電圧を求めろと言われているので、電圧降下の式を書いて解きます(電荷保存則よりコンデンサーAもコンデンサーBも同じ電荷です。QをVonから求めて処理しています。)
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(2)
静電エネルギーはQ=CVをdVで積分したものなので、CV2/2です。
まず、Aから各時点での電圧を代入して計算すると
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次にBも各時点の電圧で計算してやります、その際にコンデンサー2つので電圧の和が電源電圧と等しいことを利用します。
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(3)
電源によって運ばれた電気量をΔQとすると、WE=ΔQV1になります(電圧=電荷1の粒子の位置エネルギー=電荷1に電場×距離)。不明なものはΔQですので、これを求めますが、問題文にあるように新たにBに蓄えられた電荷と等しいので(注:コンデンサーAの電圧が下がっているので、電源ではなくコンデンサーAによって運ばれた電荷も存在しています)、
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(4)
これがIでやりたいことで、そのためにエネルギー保存則を使いたくて前問までの事項を聞いています。なので、(4)だけ出されても、自分で(4)→(3)→(2)→(1)という設問を思いつくように普段から設問の構造を理解し、応用できるようにトレーニングして欲しいところです。

総エネルギーが保存されるので(V1は残して計算したほうがすっきり行きますが、誘導上ちゃんと計算しました。)、
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II
(1)
色々長いですが、電圧Vでコンデンサー間の正味電荷がQの場合の直列コンデンサーです。基本問題です。以下の式において出てきてはいけないものはVBであり、その派生のQBでもあります。これを消すことを念頭に進めます。
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(2)
(1)の途中の式に代入して解きます。VA=Vonです。
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さて、ここで邪魔なのがQなので、Qを求めます。1回目の消灯時で考えていいので、
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【参考】n回の点灯
実際にやるとコンデンサーBが電圧に耐えられず壊れるのでしょうが、n回点灯するときの各エネルギーや電圧を考えて見ます。やることは本問と全く同じですので、こっちで出しても良かったのではないでしょうか。

それぞれを本問で出てきた記号の末尾に添え字をつけて表記することとします(Qnはn回目の電荷の流入量ではなく、n回目の消灯後のコンデンサー間に溜まった正味電荷とします)。
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todai_2008_phy_2a_10.png

となり、ネオンランプで消費されるエネルギーはnによらないものになります。実のところ、こんな結果はQnの差分が一定とわかりさえすれば、ネオンランプが図2-2の電圧電流特性を持っているため計算不要で分かってしまいますが。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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