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東京大学2008年前期物理第3問
図3-1のように,十分な高さLをもった,断面積Sの円筒容器にnモルの気体を入れて密閉し,気体の絶対温度を一定の値Tに保つ。このとき,一様な重力の作用下では,気体の密度は容器の底に近いほど大きく,密度に勾配のある状態になる。容器の底から測った高さをz,単位体積当たりの気体のモル数をcとすれば,cはzの関数とみなすことができ,関係式
   c(z+Δz)-c(z)=-αΔzc(z)   (*)
がよい近似でなりたつ。ここで,Δzは高さの差であり,αは高さzによらない比例係数である。αΔzは十分小さいものとする。また,気体1モルあたりの質量をm,気体定数をR,重力加速度の大きさをgとする。

容器内の気体を理想気体とみなして,以下の問に答えよ。
(1) 高さzにおける気体の圧力をp(z)とする。p(z)をc(z),TおよびRを用いて表せ。

(2) 図3-2のように,高さzの位置にある,厚さΔz,断面積Sの気柱に注目する。ここで,高さz,z+Δzにおける気体の圧力はそれぞれp(z),p(z+Δz)である。また,気柱内のc(z)の変化は十分小さく,気柱内の気体のモル数はc(z)SΔzで与えられるものとする。この気柱にはたらく鉛直方向の力のつり合いを表す式を与えよ。

(3) 上の(1),(2)の結果から,関係式(*)の係数αをm,g,TおよびRを用いて表せ。

(4) 気体の温度が一様に13℃の場合に,単位体積あたりの気体のモル数cが0.10%減少するような高さの差Δzを求めよ。ただし,気体1モルあたりの質量はm=1.3×10-1kg/mol,気体定数はR=8.3J/mol・K,重力加速度の大きさはg=9.8m/s2とする。

(5) 容器の底と上端での単位体積あたりの気体のモル数の差c(0)-c(L)をm,g,T,R,nおよびSを用いて表せ。


図3-3のように,軽くて変形しない小さな物体を容器内の気体の中に入れておいたところ,やがて高さz0の位置で静止した。物体の体積をv,質量をMとして,以下の問に答えよ。
(1) 高さz0における単位体積あたりの気体のモル数c(z0)をM,vおよびmを用いて表せ。
(2) 物体が高さz=z0+Δz(Δz>0)にあるとき,物体にはたらく力Fの大きさをM,g,α,およびΔzを使って表し,また,その向きを答えよ。ただし,Δzは十分小さく,関係式(*)がなりたつものとしてよい。
todai_2008_phy_3q.png

解説


標準的な問題で、行っていることさえ分かれば基本問題です。今回はあまりメリットはないですが、微積OKなら関数としてさくっと求められてしまう問題です。簡単な微分方程式は高校生に教えてもいいのではないでしょうか。そのほうが物理の見通しも良くなる気がします。

I
(1)
圧力とモル濃度の関係なので、いつものあいつです。状態方程式をVで割って、
p(z)=c(z)RT

(2)
圧力×面積がかかる力で、モル濃度×体積がモル数になるので、
p(z)S-p(z+Δz)S-c(z)SΔzmg=0

(3)
(1)を(2)に代入して整理します
todai_2008_phy_3a_1.png

(4)
*をc(z)で割ったものが増加率です。気温や質量は出題者が決めれる数字なのできれいに消せる候補だと思ったらその通りでした。
todai_2008_phy_3a_2.png
よって1.9m

(5)
一見*かと思う方もいそうですが、*の利用の条件はαΔzが小さいことです。Lは十分大きいため使えません。
ここまでの設問の結果や過程が使えないか、問題文にnがあることなどを考慮すれば全体の釣り合いの式で行くアイデアは出てくるのではないでしょうか。
todai_2008_phy_3a_3.png

II
(1)
静止したようなので釣り合いです。浮力は物体にどかされた流体にかかる重力になるので、
todai_2008_phy_3a_4.png

(2)
方向は鉛直下の方が気体の密度は大きいことからΔz>0なら浮力が小さくなることがわかるので、鉛直下向きです。
ちゃんと計算すれば、かかる力の変化量はのけた気体にかかる重力の変化量なので、*にvmgをかけたものになります。
todai_2008_phy_3a_5.png

東大入試において、このような定性的な問いには式を立てなくても答えられることが多いので、日ごろから定性的な観点でも考える癖をつけておきましょう(私は物理屋ではないので数式だけでいいじゃん派ですけど)。

【参考】
*の段階で関数の形が決まります。差分で書かれてるのを微分に直し、積分します。
todai_2008_phy_3a_6.png
これに体積Sdzをかけて0からLまで積分するとnとなります(Lは十分大きいとあるのでLから来る部分は0にしてもいい気がします)
todai_2008_phy_3a_7.png
I(5)は代入すると
todai_2008_phy_3a_8.png
となります。また、各地点での圧力はその上に乗っている気体の重さなので、
todai_2008_phy_3a_9.png

となります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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