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東京大学2009年前期物理第1問
図1-1のように,鉛直に固定した透明な管がある。ばね定数kのばねの下端を管の底面に固定し,上端を質量mの物体1に接続する。質量が同じくmの物体2を,物体1の上に固定せずにのせる。地面上の一点Oを原点として鉛直上向きにx軸をとる。ばねが自然長になっているときの物体1のx座標はhであり,重力加速度の大きさはgである。
なお,物体の大きさは小さく,管との摩擦や空気抵抗は無視でき,x方向以外の運動は考えない。ばねの質量は無視できる。また,管は十分長く,実験中に物体が飛び出すことはないものとする。

Ⅰ 物体1と物体2を,互いに接した状態で,物体1のx座標がxAとなる位置まで押し下げ,時刻t=0に初速度0で放したところ,物体1と物体2は互いに接した状態で単振動を開始した。

(1) この時の,物体1の単振動の中心のx座標を答えよ。

(2) 物体1と物体2のx方向の運動方程式をそれぞれ書け。各物体の加速度をa1,a2,物体1の位置をx,互いに及ぼす抗力の大きさをN (N≧0)とせよ。

(3) xAの値によっては,運動中に物体1と物体2が分離することがある。図1-2はこのような場合の物体の位置の時間変化を示す。運動方程式を使って,分離の瞬間の物体1のx座標を求めよ。なお,図1-2では物体の大きさは無視されており,接している間の物体1と物体2の位置を1本の実線で表している。

(4) 分離の瞬間の物体1の速度を答えよ。また,分離が起きるのは,時刻t=0における物体1の位置xAがどのような条件を満たす場合か答えよ。
todai_2009_phy_1q1.png


todai_2009_phy_1q2.png


Ⅱ 物体1と物体2が分離した後の運動について考える。分離後,物体1は単独で単振動する。物体2は重力のために,分離後ある時間が経過した後に必ず物体1に衝突する。分離から衝突までの時間は時刻t=0における物体1の位置xAに依存する。ここで,分離から衝突までの時間が,物体1が単独で単振動する際の周期Tに等しくなるように,xAの値を設定した。衝突の時刻をT1とする。

(1) 物体1が単独で単振動する際の周期Tを答えよ。また,物体1と物体2が衝突する瞬間(時刻T1)の物体1のx座標を答えよ。

(2) 分離の瞬間の物体2の速度をVとする。分離から衝突までの時間がTとなるためのVの満たす式を書け。

(3) 物体1と物体2の間のはねかえり係数は1であるとし,時刻T1における衝突以降の運動を考える。物体1と物体2が,T1以降に再び接触する時刻T2と,そのときの物体1のx座標を答えよ。また,時刻t=0から2T1までの間で,横軸を時刻,縦軸を物体の位置とするグラフの概形を描け。物体の大きさは無視し,物体1と物体2が接した状態で運動している部分は実線,分離している部分は点線を用いよ。なお,横軸,縦軸共に,値や式を記入する必要はない。

(4) この場合のxAをh,m,k,gを用いて表せ。

解説

後半は少し複雑な運動になるので、Ⅱ(3)のグラフで引っかかる人がいるかもしれません。基本的な事項の積み重ねレベルを脱しない内容なので、衝突する場合にはどのように処理するのかといったことを反射的に処理できるように重問などで鍛えておけばいいでしょう。


(1)
重力がある単振動の中心は釣り合いの位置になります。これは以下の加速度の方程式からわかります。
todai_2009_phy_1a_2.png

(2)
物体1が受ける力は、バネによる力、重力、物体2から受ける抗力です。一方、物体2が受ける力は重力と物体1から受ける抗力です。図を描いて接しているもの間(例えば、バネと物体1、物体1と物体2、今回は0ですが物体と管)の力、重力を考慮する癖をつけましょう。電磁気がらみならそれに電界や磁界を加えて考えます。
よって、
todai_2009_phy_1a_3.png

(3)
物体が離れるとは、抗力=0は反射的に思いついて欲しい事項です。もしパッと思いつかない場合には、自分が今まで解いた物体が離れる系の問題で何をやったか思い返してみてください。

まあ実際のところ抗力=0は必要条件であって十分条件ではなく、a1=a2という条件を満たすと仮定した場合に、Nが負になる領域が存在することが必要十分条件だと思いますが(xがhまでしかいかないなら離れないということです)。

上の式をa1=a2としてNについて解くと、
todai_2009_phy_1a_4.png
となり、x=hで離れます。

(4)
エネルギー保存則で行くか、こつこつ運動方程式を微分方程式として解くかです。途中を関数で与える必要がないときは前者が楽です。
注意すべきは重力の位置エネルギーを忘れないことですが、初めからバネに組み込んで(釣り合いの位置を自然長的に扱う)解く手法もあります。
todai_2009_phy_1a_5.png
2行目はX2-Y2の因数分解公式を使っています。バネといい運動エネルギーといい2乗のものは良く出てくるので重宝します。

vが存在すること、つまりvが0より大きい実数であることから、
todai_2009_phy_1a_6.png
この方法は少し数学的なので、普通にいくと、単振動がhを超えればいいので、初めの位置と振動の中心の距離>hと振動の中心の距離で解く感じでしょうか?
todai_2009_phy_1a_7.png


(1)
ごく普通の単振動です。重さが2mでなくmになることに注意すると、
todai_2009_phy_1a_8.png
のいつもの奴です。
次に位置は、ちょうど単独単振動の1周期なので元の位置に戻ります。よってhになります。

(2)
ただの放物運動なのでV-gt=0で頂点までの時間が出ます。対称性から2倍するとTなので、V=gT/2

(3)
衝突以降といわれているのでとりあえず衝突させてみます。はねかえり係数1で重さが同じなので、速度の交換が起きます(はねかえり係数の定義と運動方程式を連立させれば出ます)。
衝突時は物体1は単に1周期回っただけなのでV、物体2は放物運動なので-Vです。よって、衝突後は物体1は-Vで物体2はVになります。
物体1が単振動であることと物体2が放物線であることに注意すれば、また1周期後にぶつかることがわかります。
よって、T2=T1+Tであり、高さはhのままです。
この時の速度は共に-Vなので、合体して元の2物体の単振動に戻ります。
また、これらの運動はT1を中心として対称なので2T1では初めの状態に戻っています。

単振動の中心や周期が変わることに注意して書くとグラフは次のような概形になります。
todai_2009_phy_1a_1.png

(4)
(2)のVとⅠ(4)のvが同じになります。よって、
todai_2009_phy_1a_9.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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