ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2009年前期物理第2問
図2のように,紙面内の上から下向き(x軸の正の向き)に重力(重力加速度の大きさg)がはたらき,紙面に垂直に裏から表の向きに一様な磁場(磁束密度の大きさB)が,EFとGHの間の領域だけに加えられている。EFとGHは水平である。抵抗R,質量mの一様な導線を一巻きにして作った高さa,幅bの長方形のコイルABCDを,磁場のある領域の上方から落下させる。その際,ABCDは紙面内にあり,BCがx軸と平行となるように,常に姿勢を保つようにした。EFとGHの距離はコイルの高さaに等しい。導線の太さはaやbに比べ十分小さく,EFはbに比べ十分長いものとする。また,自己誘導や空気抵抗は無視し,地面との衝突は考えないものとする。

todai_2009_phy_2q1.png

Ⅰ 時刻t=0に,ABとEFの距離がhとなる位置から初速度0でコイルを落下させた。
(1) ABがEFに到達する時刻t1と,その時のコイルの速さv1をhを用いて表せ。

(2) ABがGHに到達する時刻をt2とする。ある時刻t (t1<t<t2)に,コイルが速さvで落下しているとする。このとき,コイルにはたらく合力(x軸の正の向きを正とする)をvを用いて表せ。

(3) ABがEFに到達する時のコイルの速さv1の値によって,時刻t1からt2の間にコイルが加速する場合と減速する場合がある。それぞれの場合における,v1の条件を記せ。

Ⅱ 時刻t1からt2の間コイルが等速度で落下するように,時刻t=0におけるコイルの位置をうまく調整してから,初速度0で落下させた。

(1) この場合の,時刻t=0におけるABとEFの距離と時間t2-t1を求めよ。

(2) 時刻t1からt2の間に,コイルで消費される電力Pと熱として発生するエネルギーWを求めよ。

(3) DCがGHに到達する時刻をt3とする。時間t3-t2を求めよ。また,落下開始から,磁場のある領域を十分離脱するまでの,コイルの速さの時間変化を表すグラフを描け。グラフには,t=t1,t2,t3 (具体的な式は不要)と,それらの時刻における速さの式を記せ。

解説

理三受験生ではなくても、満点をとりに行ってよい大問です。標準を超える設問は一つもないため、如何に早く解いて物理の残りというか実際の試験だと化学に時間をまわすかの勝負です。


(1)
ただの自由落下です。
todai_2009_phy_2a_2.png

(2)
この設問で聞いているのはAB側が磁場内に入って移動している場合の力を求めろということです。
コイルには誘導起電力による電流が流れるので、その電流によってローレンツ力がかかります。
まず誘導起電力はコイルを貫く磁束の変化率であり、抵抗がRなので、
todai_2009_phy_2a_3.png
であり、向きはレンツの法則より、磁束の変化を打ち消す方向になるため、B→A方向に流れます。
これにかかるローレンツ力はフレミングの左手の法則によってxの負の向きで、その大きさは
todai_2009_phy_2a_4.png
となります。これ以外にかかる力は重力のみなので、
todai_2009_phy_2a_5.png

(3)
加速減速は運動方程式よりかかる力に比例するので、(2)で求めた力がどっち向きかということです。
正なら加速、0なら等速直線運動、負なら減速です。よって、
加速は
todai_2009_phy_2a_6.png
減速は逆なので
todai_2009_phy_2a_7.png


(1)
距離は、Ⅰ(3)で述べたように等速だと合力0なので、速度は(3)の不等号が等号になったものです。これをⅠ(1)とリンクさせれば、
todai_2009_phy_2a_8.png
時間は等速運動なので、距離を速度で割るだけです。
todai_2009_phy_2a_9.png

(2)
運動エネルギーが一定なので、エネルギー保存則から、発生エネルギー=位置エネルギーの減少量となります。
よって、落下した距離がaなので、W=mga。
単位時間当たりなのでtで微分(距離であるaが微分されてvになります)してP=mgvになります。等速直線運動なのでかかった時間でW割ってもいいです。
todai_2009_phy_2a_10.png
エネルギー保存則は力学的エネルギーだけではなく、ジュール熱やコンデンサーの静電エネルギー、コイルの磁界エネルギーなどを巻き込んで成立します。電磁気分野ではよくジュール熱計算をエネルギー保存則でやるので慣れましょう。

計算が面倒ですが、電流からで求めてもいけます。
todai_2009_phy_2a_11.png

(3)
磁束が減少して行きますが、その減少具合はABが突入してきた際の増加具合と同じなので、結局のところ同じ運動方程式、つまり等速直線運動になります(コイルに流れる電流は逆になりますが、力を受ける辺がABではなくDCになるため、その部分の電流は同じ向きで同じ大きさです)。
よって
todai_2009_phy_2a_12.png
DCがGHを超えれば自由落下なので、グラフは次のようになります。
todai_2009_phy_2a_1.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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