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東京大学2007年前期数学第1問
nとkを正の整数とし,P(x)を次数がn以上の整式とする。整式(1+x)kP(x)のn次以下の項の係数がすべて整数ならば,P(x)のn次以下の項の係数は,すべて整数であることを示せ。ただし,定数項については,こうそれ自身を係数とみなす。

解説

見るからに背理法や数学的帰納法で解けって言っている様な問題です。とくにコメントするような問題ではないです。

解答


P(x)の係数をaの下つき文字、(1+x)kP(x)の係数をbの下つき文字で表し、下つき文字はxの次数とします。
k=0だとそのままなので、k≧1で考えます。初めて整数じゃなくなる次数をmとします。
todai_2007_math_1a_3.png
となりますが、左辺が整数で、右辺第1項が整数ではないので、右辺のΣも整数じゃなくなります。ここで、組合せは整数の値しかとらないので、それと積をなすam-hの少なくとも1つが非整数ということになります。これは係数が初めての非整数となる次数がmとしたことと矛盾します。
よって、そのようなmは存在しない、つまり、P(x)のn次以下の係数はすべて整数ということになります。

別解答


P(x)の係数をaの下つき文字、(1+x)kP(x)の係数をbの下つき文字で表し、下つき文字はxの次数とします。

P(x)は任意なのでその都度設定してもいいのですが、わかりやすくするために「Pの次数はn以上の整式とする。(1+x)kP(x)のm(≦n)次以下の項の係数がすべて整数ならば,P(x)のm次以下の項の係数は,すべて整数である」ことを証明します。
また、k=0だとそのままなので、k≧1で考えます。

(i)m=1のとき
todai_2007_math_1a_1.png
ですが。ここでb0は整数なので、それと等しいa0も当然整数です。よって成立します。

(ii)m=i以下のすべてのmで成立していると仮定した場合(ただし、i+1≦nとする)
todai_2007_math_1a_2.png
となります。左辺が整数、かつ、右辺のΣ部分の各要素は整数(kからh選ぶ組み合わせ)×整数(P(x)のi次0以下の係数は仮定より整数)、つまり整数になるので、ai+1も整数でなければなりません。よって、仮定の下でm=i+1以下のすべてのmで成立します。

(i),(ii)より、「(1+x)kP(x)のm(≦n)次以下の項の係数がすべて整数ならば,P(x)のm次以下の項の係数は,すべて整数である」は真となります。
証明においておいた制約はm≦nなので、当然m=nにおいても成立します。

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