ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2007年前期数学第2問
todai_2007_math_2q_1.png

解説

図を描いて相似だと早く気づけるかだけの問題です。あとは、極限がめんどくさい感じになるので、それをどう効率よく処理していくかというお話です。普通に極限値を求めておきますが、思いつかなければロピタルで無理やり求めてもいいでしょう。
別解答としてもう少しエレガントな解答、曲線への収束を利用した解答をあげておきます。

解答


図にすると、以下のようになります。座標は任意ですが、わかりよい感じにおいています。
todai_2007_math_2a_1.png
図で記しているように2角が等しいので、△OPk-1Pkはすべて相似です。また、OP0とOP1の比が相似比になっているので、
todai_2007_math_2a_2.png
となります。()の部分はn乗も含めてeに成るので、もし収束すると仮定すれば、発散するnとa1の積が収束することになります。それを念頭においておきましょう。まずはa1を求めてみます。
余弦定理より
todai_2007_math_2a_3.png
これにnをかけてlimを考えます。cosをそのままlimとってもダメそうなので、三角関数の極限といえばsinx/xということで半角の公式でsinに変換します。
todai_2007_math_2a_4.png


別解答


n→∞では解答においてあげた図が細かくなっていき、最終的に曲線になります。この曲線は、角度がπ/nごとに原点(点O)からの距離が(1+1/n)倍になります。つまり、極座標で行くと、
todai_2007_math_2a_5.png
となり。0≦θ≦πで曲線の長さを求めればいいことになります。よって、
todai_2007_math_2a_6.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
はじめまして。今年受験する理一志望の高3なのですが2007年度をきょうといたところ完答が1つもありませんでした…(2では相似に気づかずθ置いて訳分からなく)
本番では60は取りたいんですけど、本当に数学が苦手で…秋の実戦模試では数学59点で偏差値60代前半だったりしたのですが…過去問といている限り散々な結果です。あと2ヵ月、急いで1対1レベルから戻してとき直した方がいいのですかね…長々とすいません
2016/01/03(日) 00:24:54 | URL | あむ #- [ 編集 ]
間違えました
5番の確率だけ完答していました
大して変わらないのですが…^^;
2016/01/03(日) 02:26:10 | URL | あむ #- [ 編集 ]
初めまして。
現役ならまだまだ延びる時期なのでなんとも言えませんが,近年の傾向として小問が多くなっており,完答にそれほどこだわっても仕方ない気がします。東大の採点は部分点が結構つく印象です。あと,1完しかできなかったといっても行列の問題無い分も考慮してください。

一対一をやるべきかですが,レベルや間違いの傾向が分からないのでなんとも言えません。
一対一が手応えのある問題だと思えたり,間違った所が一対一で見たような問題ならばやり直してもいいでしょう。

そうでないならば,センター対策しつつ旧帝や東工大などの過去問をバシバシ解いた方がいいと思います(6~7割取れるところが効率がいいと思います)。
間違えた際にはどこをどう着目すれば気づけたかまで考えてください。

何れにしてもまだあせる時期ではないです。

追伸
理科の方がさっくり上がりますよ?
2016/01/03(日) 09:58:00 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
返信ありがとうございます
解いた過去問については完答したのが
2015 1
2012 1.2.3
2011 なし
2007 5
2005 なし
といった所です 落とした中で計算で押す問題もいくつかあるのですが2005などは全く歯が立たない問題が余りにも多かった印象です(2015は一応55点くらいでした…)

本番では英75数60物40化35国35を目標にしています
物理はまだ解けるのですが化学はイマイチです^^;



2016/01/03(日) 19:08:43 | URL | あむ #- [ 編集 ]
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