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東京大学2007年前期数学第3問
座標平面上の2点P,Qが,曲線y=x2(-1≦x≦1)上を自由に動くとき,線分PQを1:2に内分する点Rが動く範囲をDとする。ただし,P=QのときはR=Pとする。

(1) aを-1≦a≦1をみたす実数とするとき,点(a,b)がDに属するためのbの条件をaを用いて表せ。

(2) Dを図示せよ。

解説


難易度はそれなりで、これ系問題はなにをすればわからず途方にくれる人も多いでしょう。以下のような解の存在条件と結びつける考え方はよく使う手法なのでマスターしておくことをお勧めします。解の存在と結び付けられても、普通に置くと変数が2つになってしまうため、そこでまた途方にくれたくなります。
そういった場合はお決まりで、解ける形(つまり変数が1つ)にしてやればいいということです。もちろん、勝手に問題を簡単にしてしまうわけなので、何を考慮しなければならないか(本問ではP,Qがaを挟むこと)を忘れないようにする必要があります。

(1)
こういう問題では適当な文字で置いて解の存在条件が常套手段です。
なので、P(s,s2),Q(t,t2)(-1≦s,t≦1)とでもおいてやります。これらの内分点なので、
todai_2007_math_3a_2.png
解答に関係ない文字がs,tの2つあってどうしようもないので、とりあえずtを消してやります(消すことによって情報量が減って、s,tの関連性がなくなりますが、あとで考慮します)。
todai_2007_math_3a_3.png
この方程式は-1≦s≦1で解を持たなければなりません。f(s)でもしてやれば、頂点のs座標がaなので、-1≦s≦1に頂点を持ちます。よって、判別式が非負、かつ、f(-1)とf(1)の少なくとも一方が非負ならばOKです。
ただ、これだけでは、tも-1≦t≦1で存在するかなんてことはわかりません。なので、sを消して同じことをします(fではなくgとします)。
todai_2007_math_3a_3.png
こちらも、判別式が非負、かつ、g(-1)とg(1)の少なくとも一方が非負ならばOKです。

しかし、これだけではs,tをばらばらで考えているため問題が生じます。つまり、f(-1)≧0とg(-1)≧0はs,tのいずれもa以下で解を持つ条件であり、内分点の定義に反します。そのため、aの両側にs,tがばらけるようにする必要があります。

つまり、f(s),g(t)の判別式≧0、かつ、{f(-1)≧0かつg(1)≧0、または、f(1)≧かつg(-1)≧0}が条件になります。よって、
todai_2007_math_3a_5.png

(2)
単純に作図します。下図の境界を含みます。条件の{の上を青、下を赤にしています。

todai_2007_math_3a_1.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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