ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2007年前期数学第4問
todai_2007_math_4q_1.png

解説


(3)だけで出されると推測して数学的帰納法で証明でしょうかね?そうだと少し面倒ですが,今回は誘導が多くとっつきやすい問題になっています。山場は(2)でしょうか?
ちなみに本問のP,Qの4条件を満たすように行列を分解することをスペクトル分解とか言った気がします。興味があればぐぐってみてください。

(1)
左辺を与えられた条件にしたがってただ計算するだけで終わりです。
todai_2007_math_4a_1.png

(2)
(1)の結果を使ってやります。Aの行列式,|A|=a(a+1)はa>0より0ではないので,Aには逆行列が存在します。よって(1)の右からAの逆行列をかけてPとQの関係式を出します(要するに2つ不明なのがあるのはめんどくさいので減らしたいだけです)。
todai_2007_math_4a_2.png
Aに代入します。
todai_2007_math_4a_3.png
これらは条件を満たします。

(3)
与えられているkは正数なので(2)の通り,本問の条件を満たすPとQに分解できます。Aの定義の積に代入すると,PQやQPの項は消えて、Pの累乗がP,Qの累乗がQになるので,
todai_2007_math_4a_4.png

【(2)別解】
ハミルトンケーリーより,
todai_2007_math_4a_5.png
です。これらは入れ替えてもOKです。この括弧内がそれぞれP,Qの定数倍だと,最後の2つの条件PQ=QP=Oなのでわかり易いですよね。とりあえず計算してみると,
todai_2007_math_4a_6.png
となります。得られた一つ目は2乗すると正負が入れ替わるので,-1倍したものにしておけば正負の入れ替わりがなくなります。さて,他の条件にも入れてみると見事にこれで成立します。

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