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東京大学2007年前期数学第5問
todai_2007_math_5q_1.png

解説

求めたい事象が結局どういうときかを考えられれば,本問題はたやすい問題です(「で?最終的にどうなの?」という考え方も役に立つことは多いです)。ただ,m=nのときに状況が変わるので,そのような例外的なものの考慮を忘れないように注意しましょう。境界部分は例外が発生しやすい箇所になります。

(1)
リセットすることを考慮すれば,終わりからmは表,その前は裏か開始前である必要があります(それ以外は何だっていいです。どうせリセットされるので)。つまりm<nとm=nでリセットの有無が変わります。よって,
m<nのときは,pm(1-p)
m=nのときはpn

(2)
(1)の和をとるだけです。これもm=nだけ別になりますが,その場合はすべての事象なので,計算せずとも1です。
m<nのとき
todai_2007_math_5a_1.png
m=nのとき 前述のように1

(3)
2回の最大値がmに成るということは片方がmでもう一方がm以下です。よって,
todai_2007_math_5a_2.png
となります(括弧内は一方がm-1以下だとし,あとからm,mのパターンを足しています)。m<nとm=nのそれぞれで代入して整理してやれば,
todai_2007_math_5a_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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