ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2010年前期物理第1問
途中で宙返りするジェットコースターの模型を作り,車両の運動を調べることにした。線路は水平な台の上に図1のように作った。車両はレールに乗っているだけであり,線路からぶら下がることはできない,車両の出発点である左側は斜めに十分高いところまで線路がのびている。中央の宙返り部分は半径Rの円軌道であり,左右の線路となめらかにつながっている。円軌道の最下部は台の上面に接しており,以後高さは台の上面から測る。車両の行き先である右側の線路も十分長く作られているが,高さR以上の部分は傾斜角θの直線であり,この部分では車両と線路の間に摩擦が働くようにした。すなわち,ここでは2本のレールのあいだを高くしてあり,そこに車両の底面が乗り上げて滑る。傾斜角θは,この区間での動摩擦係数μを用いて,tanθ=μとなるように設定されている。線路のそれ以外の場所ではレール上を車輪がころがるので,摩擦は無視することができる。重力加速度の大きさをgとし,車両の大きさと空気抵抗は無視して,以下の問いに答えよ。

I 質量m1の車両Aが左側の線路上,高さh1の地点から初速度0で動き始める。車両Aが途中でレールから離れずに,宙返りをして右側の線路に入るためにh1が満たすべき条件を求めよ。

次に,左側の線路につながる円軌道部分の最下点に質量m2の車両Bを置いた。車両Aは円軌道に入る所で車両Bと衝突する。
II 衝突後2つの車両が一体となって動く場合を考える。車両Aは左側の線路の高さh2の地点から初速度0で動き始める。一体となった車両がレールから離れずに宙返りするために,h2が満たすべき条件を求めよ。

III 2つの車両が弾性衝突をする場合を考える。車両Aは左側の線路の高さh3の地点から初速度0で動き始める。車両Aは衝突後,直ちに取り除く。
(1) 衝突後に車両Bがレールから離れずに宙返りするために,h3が満たすべき条件を求めよ。

(2) h3が(1)で求めた条件を満たす場合,車両Bは宙返り後,右側の線路を進む。右側の線路での最高到達点の高さh4を求め,最高点到達後の車両のふるまいを述べよ。

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解説


Iで基本から入って段々と複雑になる問題ですが,結局Iの焼き直しなので,何が違うのか,どうすれば同じ問題として扱えるのかを考えていけば,本問の計算量は少なくて済みます。このような考え方は常に意識して学習するようにしましょう。
難易度は明確に簡単だと思います。

I
”レールから離れずに”の段階で垂直抗力が0のときだなと反射的に処理できるようにしておきましょう。
垂直抗力を求めるために,半径Rの円運動をなすために必要な力を求めます。角振動数をωに固定して等速円運動として扱って差し支えありません(参考参照)。必要な向心力は
todai_2010_phy_1a_1.png
です。重力の一部も向心力になるため,直感から台車が円の頂点になるときが垂直抗力が最小となります(これも厳密には参考参照)。よって,
todai_2010_phy_1a_2.png
このうちで不明なものは|r'|,すなわちvです。エネルギー保存則から算出します。
todai_2010_phy_1a_3.png

【参考】
半径R,角度θ(水平右方向を0,反時計周りを正とします)として円運動を考えます。(=)の記述は指導に当たる大学生向けでいいです。なお,下添え字はその方向の成分表しています。例えばrは中心方向成分で中心向きが負とします。
todai_2010_phy_1a_4.png
ある角度θでの運動方程式より,
todai_2010_phy_1a_5.png
ここでエネルギー保存則を使って角度がθのときの速度を求めると,
todai_2010_phy_1a_6.png
右辺第一項と第二項の和が一定であり,第二項は-π/2≦θ≦π/2で単調増加であることから,第一項は単調減少になります。つまり|r'|は単調減少です。ここで,N=の式に戻ると,カッコ内の第一項は-π/2≦θ≦π/2でθに関して単調減少,第二項は係数のマイナスも含めると単調減少になります。
よって,Nはθに関して-π/2≦θ≦π/2で単調減少関数になります。つまり,π/2で最小となります。

II
衝突のあとに一緒になるので質量が変わるということです。上で求めたものというか速さ|r'|は質量に依存しないので,衝突直後の速さを考えます。
つまり,Iの時の速さ以上ならOKです。Iの最低の高さにおけるエネルギー保存則より,
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衝突といえばお決まりの運動量保存則より,
todai_2010_phy_1a_8.png

III
(1)
弾性衝突なので,運動方程式と反発係数です。衝突後の速度をvの各物体名下添え字でかいてやると,
todai_2010_phy_1a_9.png
vBの条件はIIと同様に考えられるので,vBを求めて,その条件で不等式を作ります。
todai_2010_phy_1a_10.png

(2)
(1)の最後の式の等号部分(vBで記述してある部分)を解いて,エネルギー保存則からどの高さまで上がるか計算します。
todai_2010_phy_1a_11.png
では,その後の運動ですが,静止摩擦係数をμ'としてレールに沿った方向で運動方程式を立てると,
todai_2010_phy_1a_12.png
ただし,この式において,摩擦はかかる力を上回らないので,結局運動方程式の右辺=0になります。よって静止したままです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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