ひたすら受験問題を解説していくブログ
開成中学校2013年算数第1問後半
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(4)は典型問題で誘導(①のこと)があるため解きやすい。(5)は発想よりも注意力を問われる問題です。こういうのは嫌いです。

(4)

解答

解法のポイント
  • 平行線(正方形なども含め)に直線が引いてあるものは、錯角などで相似な図形を見つけてあげる
  • 同じようなものには同じ解法を使う

①ですが、HBFでわかっているものはBFです。よってそれを底辺として高さを求めれば終わりになります。直接求めることは灘中2013一日目第9問解答3で解説したとおり可能ですが、相似を使っていく方が本筋です。ではHBFと相似なものはないのかですが、相似のありがちなパターンは決まっています。平行線の錯角(平行線までにクロスした直線2本でできる)、平行線の同位角(平行線を越えてクロスする直線2本や、中点同士などを結ぶとできる)、直角三角形の直角から斜辺への垂線、円に接する四角形の2辺を伸ばしてできるアレ、の4つが代表的です。

さて、うんちくは置いておいて、ここでは錯角です。つまりHDAが相似な三角形になっており、相似比は1:2です。よって、高さはABの1/3となり、2/3です。よって1×2/3÷2=1/3cm2が答えです。

つづいて②ですが、GEBHと①の関係を見ればあとは三角形AGEがわかればABFから引いて求められると気づくのではないでしょうか。
AGEってぱっと見、成り立ちが①のBHFに似てませんか?なら同じように処理してやればいいのです。①では平行線の錯角な相似三角形を使ったので、今回も探してやりますが、見当たりません。なら作ってしまえばOKです。AFとDCを伸ばして交わらせれば同じような図になります。この交点をIとします。するとAGEとIGEは相似になり、相似比はABFとICFも相似というか合同な三角形になるので1:4となることがわかります(DI=4です)。よって、2/5がABFの高さなので、1/5が面積となり、ABF=1よりGEBH=1-1/3-1/5=7/15cm2となります。

(5)

解答

解法のポイント
  • 位ごとに分けて考える
  • 逆向きに考える
  • (桁数の制限をとっぱらって一般化する)
0に注意する問題です。①ですが、十の位を四捨五入して200ができるものは150から190、210から240なので計9つあります。1の位を四捨五入して200になるためには19□で五入か、20□で四捨されるかです。よって195から199、201から204の合計9つあります(2万になるもののように桁数がおおかろうが、199□0や200□0のように一桁ずつ考えれば前者が各桁で5種、後者が4種あるので、9×(桁数-1)になります。)。よって合計18個です。

②ですが、最後の結果がわかっているのでそこから逆にたどってやります。イが0ではなく、イを入れると0になるということは、イは1から4の数字が1つと0で成り立っている(問題文の2000がその例です)。よってイは100から400、注意が必要ですが1000(例えば999を機械に入れるとできます)が考えられます。アが3桁なので、100と1000だけ注意が必要です。それ以外のものは3パターンあり、①をそのまま適用できるので、3×18=54です。

100になるものは①と同様の考察によって4×2で8個、1000になるものは5×3で15個です。よって77個が答えです。
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テーマ:中学受験 - ジャンル:学校・教育

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