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東京大学2010年前期物理第3問
管の中では気柱の共鳴という現象が起こるが,そのときの振動数を固有振動数と呼ぶ。なお,以下で用いる管は細いので,開口端補正は無視する。
I 管の長さをL,空気中の音速をVとして以下の問いに答えよ。
(1) 管の両端が開いているときの固有振動数のうち,小さいほうから3番目までの振動数を求めよ。
(2) 管の一端が開いていて,他端が閉じられているときの固有振動数のうち,小さいほうから3番目までの振動数を求めよ。

II 長さ1mの 透明で細長い管の左端に膜をはり,この膜を外部からの電流によって微小に振動させ,管の中に任意の振動数の音波を発生できるようにした。管は水平に置かれ,内部には細かなコルクの粉が少量まかれていて,空気の振動の様子が見えるようになっている。管の右端をふたで閉じて,音波の振動数をゆっくり変化させ た。振動数を400Hzから700Hzまで変化させたとき,519Hzと692Hzで共鳴が起こり,空気の振動の腹と節がコルクの粉の分布ではっきりと見えた。なお,他の振動数では共鳴は起こっていない。
(1) 692Hzでの共鳴のときの空気の振動の節の位置を管の右端からの距離で答えよ。

(2) この条件を用いて,音速Vを求めよ。

III 次に,IIで行った実験では閉じられていた右端を開いて,振動数を400Hzから700Hzまで変化させた。今度は振動数がf1とf2で共鳴が起こり,管は大きな音で鳴った。ここで,f1<f2である。f1とf2を求めよ。

IV この装置を自転車に載せてサッカー場に行った。固有振動数f1の音を出しながら,図3に示すように,サイドライン上をA点からC点に向かって一定の速さvで走る。C点にはマイクロフォンと増幅器とスピーカーがあり,マイクロフォンでとらえた音を増幅してスピーカーで鳴らす。三角形BCDが正三角形になるように,サイドライン上にB点とD点を設定する。D点で装置からの音とスピーカーからの音を聞く。風の影響は無視して以下の問いに答えよ。
(1) 2つの音源からの音は,干渉によりうなりを生じる。B点からの音とスピーカーからの音が干渉して生じるうなりの振動数を,音速V,自転車の速さv,振動数f1を用いて表せ。
(2) 自転車がB点を通過するときのうなりの振動数は2Hzであった。この値を用いて自転車の速さを有効数字1桁で求めよ。なお,音速の値はIIで求めたものを用いよ。

todai_2010_phy_3q.png

解説


特に面白い観点がないぐらいの基本問題です。

I
開いている場合は自由端,閉じている場合は固定端として作図してやるだけです。fを振動数,λを波長とすると,λf=Vなので,図を下にλを求めて処理していきます。
(1)
下図のようになります。
todai_2010_phy_3a_1.png
順に
todai_2010_phy_3a_4.png

(2)
下図で同様に処理します。
todai_2010_phy_3a_2.png
順に
todai_2010_phy_3a_5.png

II
両側が固定端反射で図を描いてやります。図のようにな感じでL=nλ/2と成るので,f=nV/(2L)です。
todai_2010_phy_3a_3.png
よって,692-519=173=V/(2L)です。692はn=4の時なので上の図のときで,節はL(=1.0m)を4等分しています。したがって答えは0、1/4,1/2,3/4,1m

(2)
V/2=173なので,346m/sです。

III
I(2)の状態です。不等式を立てるか,nは小さいので適当に入れて計算します。
todai_2010_phy_3a_6.png

IV
(1)
うなりは二つの波を合成した結果,その振動数の差がうなりの振動数になります。

Bで生じた波はC方向には波長が(V-v)/f1になり,D方向には(V-vsin60°)/f1になります。Dの点ではこれらの波長の音を聞くこと,及び,波長によらず音速が一定であることを考えれば,
todai_2010_phy_3a_7.png

(2)
2らしいので代入します。
todai_2010_phy_3a_8.png
途中でv<<Vだからv22次の項を消してもいいですが,自転車という情報だけでv<<Vと決め付けるのは邪道だと思っています。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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