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東京大学2006年前期数学第1問
todai_2006_math_1q.png


解説

ベクトルの問題はベクトルまんまで行くか,成分で行くか,それとも幾何に置き換えるかなどの選択肢があるので,少し考えてどれが楽そうか検討するようにしましょう。本問の難易度は明確に簡単であり,ぜひ取って欲しい問題です。

(1)
xy=1とベクトルの関連について特に思いつかなかったので,成分でいきました。設問的にP1,P1をxy=1を満たすように置いてやり,それを使ってP3を表してやり,xy=1を満たさないことを確認します。
todai_2006_math_1a_1.png
最後の変換は相乗相加平均です(思いつかなければ、"∴"の行の最後の括弧内をt+1/tとし,t+1/t=3/2が解を持たないことを示してもOKです。)。今回のように同符号とわかっていれば負でも活用できます(-1かければいいだけなので当たり前ですが)。
この範囲は1を含まないため,点P3はxy=1を満たしません。

(2)
円のベクトル方程式は知っているので,ベクトルのまま処理してみます(成分でやっても解けます。P4をP1とP2の成分で表すだけです。)。
まず,示すべきことはOP4=1です。
次に与えられている条件を整理すると,
todai_2006_math_1a_2.png
OP4の長さを計算します。
todai_2006_math_1a_3.png
よって同一円周上にあります。

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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