ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2006年前期数学第2問
コンピュータの画面に,記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。
このとき,各操作で,直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は,それまでの経過に関係なく,pであるとする。
最初に,コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い,記号が最初のものも含めて3個出るよりも前に,記号○がn個出る確率をPnとする。ただし,記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1)P2をpで表せ。
(2)n≧3のとき,Pnをpとnで表せ。

解説


本問も明確どころじゃなく,(1)すらいらないと思うぐらい簡単なので,如何にさくっと解いて次の問題に移るかの争いです。確率の問題は大体直接求める方法と漸化式で行く方法があるため,どちらが手っ取り早いかの判断になれるようにしましょう。


(1)
普通に書き出します。
× ×○○
× ○×○
× ○○
の3パターンです。注目なのは最後のだけ×数がことなることです(これは(2)別解答で考慮することになります。)。

問題文どおりに計算して和をとってやります。
todai_2006_math_2a_1.png

(2)
(1)で考えたパターンを引き継ぎます。3パターンを順に記述してやると以下のようになります。下添え字で連続で出る数を表しています。
× ×○n
× ○k×○n-k
× ○n
真ん中のものは×が入るタイミングが○の両端を除くためn-1箇所あり得ます。順に計算して和をとると,
todai_2006_math_2a_2.png

【(2)別解答】
PnとPn+1の対応を考える。(1)であげた3パターンを上から順にA,B,Cとすると,
AnからはAn+1(○を追加)
BnからはBn+1(○を追加。ただしBnの最後は○なので,Bn+1の右から2番目が×の場合は除かれる)
Cnからは×に余裕があるのでCn+1(○を追加)とBn+1の先ほど除外したもの(×○を追加)が考えられる。
よって○追加分はまとめてpをかけるだけになるので,Cnの確率は(1-p)pn-1であることを考慮すると,
todai_2006_math_2a_3.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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