ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2006年前期数学第3問
todai_2006_math_3q.png

解説

(1)は忠実に条件を式にして消化していくことになります。(2)は存在を示す手法として恒等式になるんだろうなということを問題文を見るだけでイメージできるようになって欲しいところです。
式変形が多いので計算の精度が試されますが,セットとしては第1問,第2問で時間が節約できそうなのでこの問題の検算などにまわしましょう。
○本によると,初等幾何による解法もあるようなので,興味ある方は見てみるといいかもしれません。

(1)
対称点を求める教科書レベルの積み重ねな問題です。α=0では原点は原点のままなのでα≠0になります。
todai_2006_math_3a_1.png
とおきます。OQの中点はl上,傾きは-1/αなので,
todai_2006_math_3a_2.png
であり,第1象限なので,α<0です。

次はPを移動します。Oの場合と同様に考えると,
todai_2006_math_3a_3.png
の上段となります。

(2)
謎のθ/3なので,加法定理で3倍にする感じがします。また,θによらずpが存在ということは恒等式の係数がpの方程式にでもなるのではという気もします。この辺はキーワードによる反射ですが,それを元にいじっていきます。
条件より
todai_2006_math_3a_4.png
でこれを計算の都合上βとでもしておきます。
加法定理と(1)より
todai_2006_math_3a_5.png
恒等式なのでp=2です。また,p=2のとき,Q,Rが第1象限の点になるようなαが満たすべき条件のチェックをします。
todai_2006_math_3a_6.png
となり,無事満たします。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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