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東京大学2006年前期数学第5問
todai_2006_math_5q_1.png

解説


(3)が難しめです。誘導を如何に活用していくが問われています。

(1)
「おけ」と書かれているのでとりあえずおいてみます。
todai_2006_math_5a_1.png

数学的帰納法でいけそうです。

(i)n=2のとき
todai_2006_math_5a_2.png
となり成立します。

(ii)
n=kで成立していると仮定すると,bk>2kです。
n=k+1において,
todai_2006_math_5a_3.png
となり成立します。

(i)(ii)より,2以上のすべての整数nにおいてbn>2nは成立します。

(2)
(1)で置き換えて範囲を求めた以上,bnを使うことが想定されます。なのでそのまま入れてやります。範囲しか求めてないので,きっと挟み撃ちでしょう。
todai_2006_math_5a_4.png
どこかで見たことある形ですね。1/2xの区分求積的なものです。上限を見たいので,1/xが上側に来るように各区分の長方形を取ってやると,0からnまでの積分との比較になりますが,1/2xはx=0だと困るので,これだけ切り離して考えて,1からnまでの積分と1に分けてやります。
todai_2006_math_5a_5.png
最後はロピタルでさくっと計算しています。anが正なので,求めるものも正もしくは0に成るので,挟みうたれて0が答えになります。

【(2)別解答】
大学の数学で習いますが,
todai_2006_math_5a_6.png
が成立します。bn>2nより,an<1/2nです。つまり,n→∞で0になるので,求めるべき答えも0です。

テキトーに考えたので,数学科の人に見られたらペンで刺されそうですが,大学生の読者向けに軽く証明を書いて置きます(ちゃんとした証明は杉浦の解説演習に間違いなくあった気がします。)。めんどいので不等号の片側のみ示しますが,
todai_2006_math_5a_7.png
第1項と第2項はMとεによってのみ決まる有限な数をnで除したものであり,十分大きなnをとれば0に収束するので,
todai_2006_math_5a_8.png
となります。よって,この結果を入れてやれば,
todai_2006_math_5a_9.png

(3)
正直なところ色々いじくりまわしてなのですが(初めに解いたときにはすんなり解けましたが,執筆する際には解法が見えず,結構時間かかったりしています),(2)を使いたくて,(2)の分母がnであり,そこに上手くanを導入できないか考えてみると,
todai_2006_math_5a_10.png
を代入してやるときれいに目的のものが残ることがわかります。なので,a1からan-1まで代入してやります。an→0に注目してやると
todai_2006_math_5a_11.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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