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東京大学2006年前期数学第6問
todai_2006_math_6q_1.png

解説

難易度は並です。(2)で逆関数を積分しますが,逆関数の積分がどういうことであるのかをわかっているか否かだけです。
もし解けないようなら,本問でさくっと覚えてしまえばいいでしょう。

(1)
f(x)は連続関数なので,要するに,x>0でf(x)は-∞から+∞までを狭義単調関数としてとるということです。とりあえず両端の値を把握するためにlimをとります。
todai_2006_math_6a_1.png
次に,単調性を見るためにf(x)を微分すると,
todai_2006_math_6a_2.png
となり単調増加です。よって,実数全体を値域とする1価関数となり,その逆関数は実数全体を定義域とします。

(2)
普通に逆関数として積分します。問題は逆関数が具体的に与えられてないことなので,f(x)に結びつけることになります。以下では普通に置換積分でやりますが,図を描いて求めている値(面積)をf(x)下の面積を用いて表してやってもいいです。

表記上ややこしいので,x=g(y)と文字を逆に書かせてもらいます。使うxの数値を前もって出しておきます。
todai_2006_math_6a_3.png
すると,
todai_2006_math_6a_4.png
計算時にはいちいちすべてxを代入するのではなくg(27)ならyが27などということを活用しましょう。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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