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東京大学2005年前期数学第1問
todai_2005_math_1q.png

解説

(1)は,見るからに数学的帰納法ですありがとうございます。と言える様になって欲しいところです。(2)は式をいじってみないと見えてきませんが,(1)の連立漸化式を解く時に(2)の形,おそらくn+1項とn項の差で出てくるのでは?とか推測が問題文からだけでも立てられます。
実際の変形も基本であり,ぜひとも完答を狙って欲しい標準的な問題です。

(1)
帰納法で行きます。

(i)n=1の時
todai_2005_math_1a_1.png
となり,a1=1,b1=-1なる数列で表されます。

(ii)
n=kで成立していると仮定するとき,
todai_2005_math_1a_2.png
です。n=k+1に持っていくために微分します。
todai_2005_math_1a_3.png
となります。ここで,{an}と{bn}を次の漸化式を満たすような数列としてやれば,n=k+1においても証明すべき式は成立します。
todai_2005_math_1a_4.png

(i)(ii)よりa1=1,b1=-1でさっきあげた漸化式を満たす数列によって表すことができます。

(2)
問題文を読んだときは連立でと思いましたが,bの方があからさまです。
todai_2005_math_1a_5.png
これはb1でも成立します。

次はaの方の漸化式に代入しますが,これは非常に良く見る形です。
todai_2005_math_1a_6.png
これはn=1でも成立します。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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