ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2005年前期数学第2問
todai_2005_math_2q.png

解説

条件がつかみにくい難問です。|z|≦5/4で表せるということと,|z|>5/4では表せないは別物です。
つまり,|z|≦5/4なるzを入れてみてwを表してあげても,それが|z|>5/4なるzでも表せる場合にはダメということです。
このことは対偶をとった表現で「すなわち」以降に明記されております。この条件を満たすためには与えられたwの式をzの式としてとらえ,解zがすべて|z|≦5/4となる場合を考えます。

zの式に変形し,解と係数の関係(αとβとします)で表します。
todai_2005_math_2a_1.png
当たり前ですね。zをαに置き換えただけです。重要なのは2-αも解という方です。ここで|z|≦5/4なる解のみ持つ領域を考えます。
todai_2005_math_2a_2.png
これは(0,0)を中心とする半径5/4の円と,(2,0)を中心とする半径5/4の円で囲まれる領域です。
また,|w|=|α||α-2|なら,円内部の点よりも円周上の点の方が|α|や|α-2|が大きくなるので(それぞれ前者の円,後者の円に相当),|w|を最大にするαは2つの円の交点になります。
(注:ここに気づかないと領域内で最大となる点を探すために,αの成分を変数とする2変数関数の最大値を探すことになり大変です。もちろん,偏微分(1変数固定の微分)して領域内の最大値,領域の境界における最大値を求めて解く事は可能です。)

このような交点は2-0<2×5/4なので考えている領域に2点存在します。実際に求めると,αの実軸(x軸)成分が対称性から2つの円の中心の中点になるので,実軸成分は1になります。
また,このとき,円周上なので,
todai_2005_math_2a_3.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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