ひたすら受験問題を解説していくブログ
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東京大学2005年前期数学第4問
3以上9999以下の奇数aで,a2-aが10000で割り切れるものをすべて求めよ。

解説


簡単な問題です。単純に因数分解してとくことになります。

10000=24・54
a2-a=a(a-1)
です。なので,2と5をaとa-1に振り分けることになりますが,aは奇数なので,2はすべてa-1に振り分けられます。
また,aが5の倍数の場合,a-1は5で割れません(あまり4です)。また逆も同様です。
よって,aが5の倍数の場合はaが54=625の倍数で,a-1が16の倍数です。
ちょうど625は16で割るとあまり1なので,条件を満たします。
625≡1(mod16)より,625k≡k(mod16)なので,kが16の倍数+1である必要がありますが,k=1以外はk≧16でa≧10000>9999に成ってしまい不適です。
aが5の倍数なら625しかあり得ません。

a-1が5の倍数なら,a-1が10000の倍数になるため,a≧10001>9999となり不適です。

よって,625
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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