ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2005年前期数学第5問
Nを1以上の整数とする。数字1,2,...,Nが書かれたカードを1枚ずつ,計N枚用意し,
甲,乙のふたりが次の手順でゲームを行う。

(i)   甲が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をaとする。ひいたカードはもと
      にもどす。

(ii)  甲はもう1回カードをひくかどうかを選択する。ひいた場合は,そのカードに書
      かれた数をbとする。ひいたカードはもとに戻す。ひかなかった場合は,b=0とする。
      a+b>Nの場合は乙の勝ちとし,ゲームは終了する。

(iii) a+b≦Nの場合は,乙が1枚カードをひく。そのカードに書かれた数をcとする。
      ひいたカードはもとに戻す。a+b<cの場合は乙の勝ちとし,ゲームは終了する。

(iv)  a+b≧cの場合は,乙はもう1回カードをひく。そのカードに書かれた数をdとする。
      a+b<c+d≦Nの場合は乙の勝ちとし,それ以外の場合は甲の勝ちとする。

 (ii)の段階で甲にとってどちらの選択が有利であるかを,aの値に応じて考える。
以下の問いに答えよ。

(1) 甲が2回目にカードをひかないことにしたとき,甲の勝つ確率をaを用いて表せ。

(2) 甲が2回目にカードをひくことにしたとき,甲の勝つ確率をaを用いて表せ。

ただし,各カードがひかれる確率は等しいものとする。

解説


個人的には,解くことよりも,問題文が長いから打ち込む方が難易度が高かった気がします。
まあ,嫌味はさて置き,ブラックジャックを題材とした問題で,題意はつかみやすかったのではないでしょうか。
場合分けが誘導でされている上,枝葉の場合分けも単純で困るところがありません。あとは,甲,乙のいずれが勝つ場合で考えた方がいいか,Σの計算をきれいに済ませられるかというぐらいになります。複数の文字がある場合のΣでは,例えばaについてのΣの計算は,他のΣで上下の変域的なところにaを含むΣをまず計算してやった後になります。

(1)
まずa+b=a+0≦Nなので,乙がひかずに甲が負けることはありません。
cは1枚ひくか2枚引くか選択肢があり,1枚目で勝ちが決まらないときに限り2枚目を引きます。

(ア)乙が1枚引く場合
a<cになるので,cはa+1からNまでです。これはa=Nの時も含め,N-a枚のカードならOKということになるので,乙が勝つ確率は(N-a)/Nです。

(イ)乙が2枚引く場合
まず,この場合とはアではないcを引いた場合です。各cにおいて,乙が勝ち得る2枚目のカードが何枚あるかを考えてみます。
a<c+d≦Nなので,dの最小がa+1-cで,最大がN-cです。よって,N-a枚あります。
これはcによらない数なので,(イ)に来る確率,つまりa/Nに(N-a)/Nをかけたa(N-a)/N2になります。

(ア)+(イ)より,(1+a/N)(N-a)/N=1-a2/N2が乙が勝つ確率となるので,甲が勝つ確率は1から引いて,a2/N2になります。


(2)
(1)と同様に考えます。

(ウ)乙が引かない場合
乙がこの時点で勝つためにはa+b>Nです。つまり,b>N-aなのでN≧b≧N-a+1です。よって,a枚なので,乙が勝つのはa/Nです。

(エ)乙が1枚引く場合
a+b<cです。つまり,各a+b+1≦c≦Nなので各a+bに対して,N-(a+b)枚です。ここで,1≦b≦N-aに注目して和をとると,
todai_2005_math_5a_1.png
となり,2回引いた分のN2で割ったものになります。

(オ)乙が2枚引く場合
c≦a+b<c+d≦Nです。まずdですが,a+b-c<d≦N-cなので,a+b-c+1≦d≦N-cです。
次にcですが,c≦a+bなので,1≦c≦a+b。
最後にbは1≦b≦N-aでした。

(エ)ではcのΣは省略しましたが,学習のためにdのΣも一応書いておくと,
todai_2005_math_5a_2.png
で,これを3回引いた分のN3で割ったものになります。

(ウ)(エ)(オ)の和をとると
todai_2005_math_5a_3.png
が乙の勝つ確率です。

これを1から引くと甲の勝つ確率なので,
todai_2005_math_5a_4.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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