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東京大学2005年前期数学第6問
rを正の実数とする。xyz空間において

x2+y2≦r2
y2+z2≧r2
z2+x2≦r2

をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。

解説

まずなによりもこういう問題で注意して欲しいことは対称性と,複数の断面です。
一応,対称性に一部気づかなかった場合にどうなるかの計算例も別解答としてあげておくので,対称性の偉大さに平伏して下さい。

2次のみなのでx,y,zの±についてそれぞれの文字で交換可能です。また,不等号の向きから,zとyが交換可能です。つまり本問では4平面による対称性が成り立っています。
すべてきれいに原点を通る対称性なので,16分の1の体積を考えればOKです。

さて,これを踏まえて断面を作図していきます。x軸に直交する断面とy軸に直交する断面を考えればOKです(z軸のはyと同じなので不要)

(i)x軸に直交
x固定で3式を変形した結果,下図のようになります。
todai_2005_math_6a_1.png

メリットとしては,xによって図形の形の基本形が変わらないことです。
デメリットとしては,積分時にarcsin(sinの逆関数)のように切りの良くない角度を表すものが出てきてしまい面倒そうということです。

(ii)
y固定で3式を変形した結果,下図のようになります。
todai_2005_math_6a_2.png

デメリットは,yによって図形の形の基本形が変わることです。そして同じくarcsinが・・・
メリットは,特に・・・
となったあなたは解説の冒頭で言ったことを思い起こしてください。
パッと見で(i)も(ii)も3平面(x=0,y=0,z=0)の対称性はすぐ見つけられると思います((i)(ii)でそれぞれx=0,y=0は少しだけ見つけにくいですが)。

では,もう1つの対称面y=zはどこに行ったのでしょうか?
(i)においてはy=zを図にそのまま書き込んでやれば対称性に気づけると思います。しかし,積分の内容が劇的に変わるものではありません。

一方,(ii)ではどうなるかというと,y=zの両サイドがy≧zとy≦zに成ることを思い返してみれば,y≧zの部分の体積と,y≦zの部分の体積が対応していることがわかり,図において,円の部分を含まないため計算しやすいz≦yで体積を求めてやればいいことがわかります。

よって,考えるべき部分は長方形になり,長方形が出来るyの範囲はr/(√2)≦y≦rなので,
todai_2005_math_6a_3.png
と簡単に求まってしまいます。

【別解答1】断面図を描かない方法(大学生向け?)
まず8分割の体積をVとします。
todai_2005_math_6a_4.png
です。何でもいいのですが,xから積分します(他は確かめてないので大変かもしれません)。積分の範囲は
todai_2005_math_6a_5.png
ですが。y=zに対する対称性より,z≦yだけ考えて2倍してOKです。よって
todai_2005_math_6a_6.png
明らかにyで積分するとめんどそうで,zにしてみればただの定数です。よって,zの積分を先にします。zの範囲はy2+z2≧r2とz2+x2≦r2より,
todai_2005_math_6a_7.png
y≧zを満たすyの範囲はy2+z2≧r2より,r/(√2)≦yです。x2+y2≦r2よりy≦rでもあるので,解答としてあげた計算と同じになります。

【別解答2】y=zに対する対称性を使わない場合
解答(i)の断面図で行きますが,面倒なので計算だけしておきます。8分の1の体積をVとすると,
todai_2005_math_6a_8.png
別にarcsinではなくθ1とかで表しても同じです。後ろの中身を計算すると,
todai_2005_math_6a_9.png
最後の式変換は直角三角形の直角じゃない角の和は直角になることからきています。積分すると,
todai_2005_math_6a_10.png
代入して
todai_2005_math_6a_11.png
【参考】
QAで類題において対称性の複数の対称性の使い方について触れています。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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