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東京大学2011年前期物理第1問
図1のように,長さlで質量の無視できる棒によってつながれた,質量Mの物体Aと質量mの物体Bの運動を考える。ただしM>mとする。棒は物体Aおよび物体Bに対してなめらかに回転でき,棒が鉛直方向となす角をθ とする。はじめ,物体Aは水平な床の上で鉛直な壁に接していた。一方,物体Bは物体Aの真上(θ=0°)から初速度0で右側へ動き始めた。その後の運動について以下の設問に答えよ。なお,重力加速度の大きさをgとして,物体Aと物体Bの大きさは考えなくてよい。また,棒と物体Aおよび物体Bとの間にはたらく力は棒に平行である。
I まず,物体Aと床との間に摩擦がない場合について考える。

(1) 物体Bが動き出してからしばらくの間は,物体Aは壁に接したままであった。この間の物体Bの速さvを,θ を含んだ式で表せ。

(2) (1)のとき,棒から物体Bにはたらく力Fを,θ を含んだ式で表せ。棒が物体Bを押す向きを正とする。

(3) θ=αにおいて,物体Aが壁から離れて床の上をすべり始めた。cosαを求めよ。

(4) θ=αにおける物体Bの運動量の水平成分Pを求めよ。

(5) 物体Bが物体Aの真横(θ=90°)にきたときの,物体Aの速さVを求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。

(6) θ=90°に達した直後に,物体Bが床と完全弾性衝突した。その後,物体Bが一番高く上がったときθ=βであった。cosβを求めよ。Pを含んだ式で表してもよい。
 
II 次に,物体Aと床との間に摩擦がある場合について考える。今度は,θ=60°において,物体Aが壁から離れた。これより,物体Aと床との間の静止摩擦係数μを求めよ。
todai_2011_phy_1q.png


解説


少し複雑なので保存則系でせめてやる良くありがちな問題です。(6)も結局そうなのですが,求めるべき時点での速さが少しだけ気づきにくいかもしれません。

I
(1)
円運動のような少し複雑な運動は,設問でわざわざ聞かれない限り,詳細な運動(時間の関数として与えるようなもの)で表す必要はありません。こういう問題は保存則でまず考えてみるのが鉄則です。

ここではエネルギー保存則でいきます。地面を基準にすると,
todai_2011_phy_1a_1.png

(2)
円運動で力といっている時点で,向心力なんだなと気づいて欲しい感じです。中心方向の力は向心力となるので,重力も考慮して中心方向の運動方程式を立てると
todai_2011_phy_1a_2.png

(3)
物体Aにかかる力で水平方向は棒と壁の垂直抗力だけです。垂直抗力の性質上,棒の力だけ考えればOKです。作用反作用的に棒の力は-Fなので,これが右向きの成分を持てばよくなります(sinθはどうせ正なので無視しています)。
todai_2011_phy_1a_3.png

(4)
(1)にθ=αを代入して水平方向成分を求めるだけです。
todai_2011_phy_1a_4.png

(5)
AとBの水平方向の速度が一緒です。水平方向の外力がないので運動量保存則より,
todai_2011_phy_1a_5.png

(6)
完全弾性衝突ということはエネルギーロスがありません。よってエネルギー保存則でいけそうです。
一番高く上がったときにはAとBは同じ速さになるので,(5)同様に速度はVです。
初めと比較してエネ保を使うと,
todai_2011_phy_1a_6.png

II
水平方向の合力と摩擦力=μ×垂直抗力Nの比較です。
todai_2011_phy_1a_7.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
(2)の式のたてかたについて
どのように考えて その式を立てたのか説明してほしいです。
2017/02/13(月) 11:51:26 | URL | 高校物理 #8utaDpkY [ 編集 ]
外向きを正とした円運動の運動方程式です。物体にかかっている棒からの力は外向きにFです。重力を円運動の接線方向と中心方向に分けると,中心方向には内向きにmgcosθになるので負です。
円運動するためには、速さvで等速円運動(その瞬間で見ると等速として差し支えありません)するためには,加速度aは-v^2/lになります(外向きなので-がつきます。また,遠心力で考えても良いです)。
2017/02/13(月) 13:13:58 | URL | 解説の人 #- [ 編集 ]
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