ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2011年前期物理第2問
電気製品によく使われているダイオードを用いた回路を考えよう。簡単化のため,ダイオードは図2-1のようなスイッチSDと抵抗とが直列につながれた回路と等価であると考え,Pの電位がQよりも高いか等しいときにはSDが閉じ,低いときにはSDが開くものとする。なお以下では,電池の内部抵抗,回路の配線に用いる導線の抵抗,回路の自己インダクタンスは考えなくてよい。
I 図2-2のように,容量Cのコンデンサー2個,ダイオードD1,D2,スイッチS,および起電力V 0の電池2個を接続した。最初,スイッチSは+ V 0側にも-V 0側にも接続されておらず,コンデンサーには電荷は蓄えられていないものとする。点Gを電位の基準点(電位0)としたときの点P1,P2それぞれの電位をV1,V2として,以下の設問に答えよ。

(1) まず,スイッチSを+ V 0側に接続した。この直後のV1,V2を求めよ。

(2) (1)の後,回路中の電荷移動がなくなるまで待った。このときのV1,V2,およびコンデンサー1に蓄えられた静電エネルギーUを求めよ。また,電池がした仕事Wを求めよ。

(3) (2)の後,スイッチSを-V 0側に切り換えた。この直後のV1,V2を求めよ。

(4) (3)の後,回路中の電荷移動がなくなったときのV1,V2を求めよ。

II 図2-2の回路に多数のコンデンサーとダイオードを付け加えた図2-3の回路は,コッククロフト・ウォルトン回路と呼ばれ,高電圧を得る目的で使われる。いま,コンデンサーの容量は全てCとし,最初,スイッチSは+V 0側にも-V 0側にも接続されておらず,コンデンサーには電荷は蓄えられていないとする。
スイッチSを+V 0側,-V 0側と何度も繰り返し切り換えた結果,切り換えても回路中での電荷移動が起こらなくなった。この状況において,スイッチSを+V 0側に接続したとき,点P2n-2と点P2n-1の電位は等しくなっていた(n=1,2,…,N)。また,スイッチSを-V 0側に接続したとき,点P2n-1と点P2nの電位は等しくなっていた(n=1,2,…,N)。スイッチSを+V 0側に接続したときの点P2N-1,P2Nの電位V2N-1,V2NをNとV 0で表せ。なお,点Gを電位の基準点(電位0)とせよ。

todai_2011_phy_2q.png

解説


Iは標準+αぐらい,IIは状況が把握できずに終わってしまった人も多そうです。
コンデンサーにおいてQ=CVが常に成り立っていること,つまり,どれか二つがわかればもう1つを求めることができることに注意しましょう。また,ダイオードの扱いは両端の電圧を比較して流れるか流れないか考えていきます(それが難しいケースでは流れると仮定して両方向の場合を求めてみますが,本問では不要です)。

元々は加速器か何かの高電圧を得るための回路で,ノーベル賞を取っているとか○本には書いてありました。個人的にはスタンガンの方がなじみがあったりします(注:簡単にできるけどつくらないでね)。

(1)
まず,P0の電位はV0です。コンデンサー1,2ともに電荷はないので,Q=CVよりV=0です。このVは電位差なので,コンデンサー間の電位差が0になるようにします。
すると,GとP1の電位は等しいのでV1=0,P0とP2の電位は等しいのでV2=V0です。

(2)
(1)で求めた電位の大小から,D1のみ電流が流れます。ただの直列に抵抗とコンデンサーをつないだ回路なので,V1=V0まで電位が上昇します。
また,相変わらずP0とP2の電位は等しいのでV2=V0です。

このとき,静電エネルギーU=CV02/2です。
また,電池がした仕事は電圧×動かした電荷なので,W=V0Q=CV02となります。

(3)
(1)や(2)と同じロジックです。
つないだ瞬間にコンデンサーの電荷は変わらないので,P1はGよりV0高くなります。よって,V0です。

一方,P0とP2の電位は等しいのでV2=-V0です。

(4)
(3)で求めた電圧的に,P1からP2に電荷が流れます。
以下のような単なるコンデンサー2個を直列につないだ回路になります。
todai_2011_phy_2a_1.png

電圧降下と電荷保存則から(V2は電荷が流れなくなるまで続くので,V1=V2は直ちに出てきますが),
todai_2011_phy_2a_2.png

II
図2-3において,電荷移動がないならばコンデンサーの電荷は一定なので,その間の電圧も一定です。+と-につないだものを上添え字で表すと,
todai_2011_phy_2a_3.png
です。GをP-1とでもしてやれば,さっきの式の下の式より,すべての奇数Pは+-接続のいずれでも同じになります。
一方,偶数系のPはP0が2V0変化するので,+接続の方が-接続より2V0大きくなります。

これを問題文で与えられている,電圧の等式
todai_2011_phy_2a_4.png
に代入すると
todai_2011_phy_2a_5.png
となります。+接続のときにP0=V0より,等差数列なので,
V2N=(2N+1)V0,V2N-1=(2N-1)V0となります。

ちなみにこのことは,電荷移動なしだのこことあそこが等しいだのを前提としなくとも,回路をくり返し単位ごと,スイッチを入れるごとに漸化式立てていけば積み上げ式で求めることができます。

【参考】積み上げ式による解法
(I)単位回路の考察
積み上げ式で考える場合,まずは図2-2の回路においてn回+-のスイッチ切り替えを行った場合を考えます。
以下では,下添え字左側では,Pの1か2のどちらの電位であるのか(Vの場合),もしくは,コンデンサー1か2のどちらの電荷であるのか(Qの場合)を表します。
下添え字右側では,+側にスイッチを入れた回数を表します。

上添え字左側では,スイッチで繋がっているのが+か-のどちらであるかを表します。
上添え字右側では,つないだ瞬間をb,つないで十分時間経過したものをaと表記することとします。

(i)+に切り替え時(n回目)
前提として(数学的帰納法的に満たすことは容易に証明されます。)
todai_2011_phy_2a_6.png
ということで話を進めます。まずダイオードの方向から,コンデンサー1のP1側は+電荷になります。同様にコンデンサー2もP2側が+電荷になります。コンデンサーがはさんでいる電荷から,
todai_2011_phy_2a_7.png

(ii)+十分時間が経過した時
(i)において電圧がP2の方が高かったので,D2には電流が流れません。コンデンサー1の電荷がCV0と等しくなるまでコンデンサー1に電荷が流れるので,
todai_2011_phy_2a_8.png
となるまで電流が流れます。

(iii)-に切り替え時
各コンデンサーの電荷は変わらず,一方の端子の電圧が変わることになるので,
todai_2011_phy_2a_9.png
となります。

(iv)+十分時間が経過した時
(iii)において,電圧の大小からD2のみ電流が流れます。よく出てくる電荷持ちコンデンサーの直列問題なので,電荷保存則と電圧降下の式(にCをかけたもの)で解きます。
todai_2011_phy_2a_10.png


(i)と(iv)および,n=0の数値より,
todai_2011_phy_2a_11.png
となり,n→∞で収束します(つまり電荷移動がなくなります)。これらの電荷移動は図2-3の様に回路を増設していっても,増設された回路からの電荷の収支は0になるため変わりません。

(II)単位回路間の関係
(I)の結果より,増設分の1つ目ではP2とP1が図2-2の電源と同じ位置に相当し,かつ,その電位差は2V0になっています。
異なる点は,基準となる電位が,0から2V0にシフトしているだけです。

これを考慮すると増設一つ目では図2-2の回路に2V0を足したものになることがわかります。
よって,各増設分の対応する箇所の電圧は公差2V0の等比数列になり,解答で求めたものになります。
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/239-e2c97f0b
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック