ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2011年前期物理第3問
図3-1のように,摩擦なしに動くピストンを備えた容器が鉛直に立っており,その中に単原子分子の理想気体が閉じ込められている。容器は断面積Sの部分と断面積2Sの 部分からなっている。ピストンの質量は無視できるが,その上に一様な密度の液体がたまっており,つりあいが保たれている。気体はヒーターを用いて加熱することができ,気体と容器壁およびピストンとの間の熱の移動は無視できる。また,気体の重さ,ヒーターの体積,液体と容器壁との摩擦や液体の蒸発は無視でき,液体より上の部分は圧力0の真空とする。重力加速度の大きさをgとする。以下の設問に答えよ。
I まず,気体,液体ともに断面積Sの部分にあるときを考える。このときの液体部分の高さはh/2である。

(1) はじめ,気体部分の高さはh/2,圧力はP0であった。液体の密度を求めよ。

(2) 気体を加熱して,気体部分の高さをh/2からhまでゆっくりと増加させた(図3-2)。この間に気体がした仕事を求めよ。

(3) この間に気体が吸収した熱量を求めよ。

II 気体部分の高さがhのとき,液体の表面は断面積2Sの部分との境界にあった(図3-2)。このときの気体の温度はT1であった。さらに,ゆっくりと気体を加熱して,気体部分の高さはh+xとなった場合について考える(図3-3)。

(1) x>0では,液体部分の高さが小さくなることにより,気体の圧力が減少した。気体の圧力Pを,xを含んだ式で表せ。

(2) x>0では,加熱しているにもかかわらず,気体の温度はT1より下がった。気体の温度Tを,xを含んだ式で表せ。

(3) 気体部分の高さがhからh+xに変化する間に,気体がした仕事Wを求めよ。

(4) 気体部分の高さがある高さh+Xに達すると,ピストンをさらに上昇させるために必要な熱量が0になり,xがXを超えるとピストンは一気に浮上してしまった。Xを求めよ。

todai_2011_phy_3q.png


解説


標準レベルで,最後だけ数学的な考え方が必要な問題といった感じです。高得点を取るべき大問です。

I
(1)
ピストンが止まっているとして考えれば,上が真空かつピストンに重さはないので,気体の圧力と液体の圧力が等しくなります。
密度をρとすると,
todai_2011_phy_3a_1.png

(2)
仕事の定義より,
todai_2011_phy_3a_2.png
で終わりです。

液体の位置エネルギーで考える方法もあります(下の式の中点前が重さにgをかけたもの,中点後が高さの増加です)。
todai_2011_phy_3a_3.png

(3)
お決まりのdU=dQ-dW⇔dQ=dU+dWです。よって熱量差は,Uの変化と気体がした仕事で表せます。仕事は(2)で求めているので,Uを求めます。つまりTを求めることになります。
PV=nRTでVとT以外は不変なので,Vが2倍になったらTも2倍になります。というかU=3PV/2なので,Tを求める必要すらありません。
よって,
todai_2011_phy_3a_4.png
となります(温度差を求めて定圧モル比熱を使ってもおなじことです)。

II
(1)
液体の高さを求めます。面積がSの部分から高さx分だけ液体が2S部分にはみ出ます。はみ出た液体は面積比的に半分の高さになるので,
todai_2011_phy_3a_5.png

(2)
温度なので状態方程式で求めます。
todai_2011_phy_3a_6.png

(3)
定義どおりに積分します。
todai_2011_phy_3a_7.png
これも液体の位置エネルギー増加分で計算可能です。図3-2の液体の下端を位置エネルギーの基準とすると,
todai_2011_phy_3a_8.png

(4)
Qを求めて最大値を求めます。普通に求めてもいいのですが,どうせQの変化量を見るので,dQ=dU+dW=dU+PdVをdxで割ってやります(つまり微分するということになります)。すると,
todai_2011_phy_3a_9.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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