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東京大学2012年前期物理第1問
高低差がhの水平面Hと水平面Lの間になめらかな斜面があり,東西方向の断面は図1-1のようになっている。水平面Lの東端には南北にのびる鉛直な壁がある。ここで小球の衝突実験を行った。すべての小球は面から離れることなく進み,互いに弾性衝突するものとし,小球と壁も弾性衝突するものとする。重力加速度の大きさをgとし,小球の大きさや回転,摩擦や空気抵抗は無視して以下の設問に答えよ。

I 図1-1のように,水平面Hで質量mの小球Aを東向きに速さvで滑らせ,質量Mの小球Bを西向きに速さvで滑らせて衝突させたところ,衝突後に小球Aは西向きに進み,小球Bは静止した。

(1) 衝突後の小球Aの速さを求めよ。

(2) 質量の比M/mを求めよ。

todai_2012_phy_1q_1.png

II 図1-2のように,水平面Hで前問の小球Aと小球Bを東向きに同じ速さv0で滑らせたところ,小球Bは壁で跳ね返り,水平面Lからの高さがxの斜面上の点で小球Aと衝突した。その後,小球Aは斜面を上がって水平面H上の最初の位置を速さvfで西向きに通過し,一方,小球Bは壁と斜面の間を往復運動した。

(1) 2つの小球が衝突する直前の小球Aの速さをvA,小球Bの速さをvBとする。速さの比vA/vBを求めよ。

(2) xをv0,vf,h,gを用いて表せ。

todai_2012_phy_1q_2.png

III 前問の小球Bが,水平面Lから高さh/10の地点と壁との間を東西方向に往復運動しているとき,図1-3のように小球Bをねらって質量M/2の小球Cを水平面H上の点から発射した。水平面L上で小球Cはうまく小球Bに命中し,その後小球Bが壁で跳ね返ってから,小球Cと小球Bが両方とも水平面Hまで上がってきた。2つの小球は同じ速さtodai_2012_phy_1q_4.pngで距離をlに保ったまま水平面H上を同じ向きに進んだ。その方向は西から北に向けての角度をαとするとtodai_2012_phy_1q_5.pngであった。

(1) 壁で跳ね返ったあとの小球Bの水平面Lでの運動の向きは,西から北に向けて角度β であった。tanβを求めよ。

(2) 小球Bと小球Cが衝突した地点の壁からの距離dを求めよ。

(3) 水平面H上で発射したときの小球Cの速さVを求めよ。

(4) 小球Cを発射した方向を東から北に向けて角度θとする。sinθを求めよ。

todai_2012_phy_1q_3.png

解説


IIIの(2)は発想を要するため難易度が高いです。それ以外は,斜面が不明すぎるので運動の仕方がわからず,保存則以外の選択肢はないため,とっつきやすいといえばとっつきやすいです。しかし,それでもIIIは工夫を要するところが多い印象です。

I
(1)(2)
弾性衝突なのでお決まりの立式で,反発係数と運動量保存則です。右(東)を正としてAの衝突後をv'すると,
todai_2012_phy_1a_2.png

II
(1)
それぞれの速さを求めますが,斜面の運動なんてわかりようがないので,エネルギー保存則でいくことになります。
エネルギー保存則において運動エネルギーと位置エネルギーの質量に関する次数は同じなので,重さによらず高さのみで決まります。また,衝突時にはAとBは同じ高さになるので,速さの比は1です。

(2)
まじめに計算してもいいのですが,斜面とはいえIそのまんまであることに気づいて欲しいです。つまり,同じ速さで逆向きに衝突しています。
衝突時の速さをvとし,Iから衝突後の速さv'(=2v)を求めてAに対するエネルギー保存則から高さを求めます。衝突前と後の二つのエネルギー保存(それぞれ高さhとxで保存しています),
todai_2012_phy_1a_3.png

III
(1)
小球に南北方向(yとします)の力は加わりません。つまり,y方向の速度は一定です。これを踏まえて,x,y方向に速度を分解し、水平面H上の速さ、水平面HとLにおけるエネルギー保存則で式を立てます。
todai_2012_phy_1a_4.png

(2)
結局のところdだったのがlになったということです。本問の運動は質量に依存しないので,BもCも同じ軌道(互いに平行)です。違いが生じる理由について考えてみると,同じ軌道の開始位置と終点が違うだけです。Bは水平面Lを,Cは水平面Hを他の小球より長い時間移動していることになり,それ以外は同じということです。
todai_2012_phy_1a_1.png
小球BとCはx方向の速さは同じなので,Bが壁にぶつかった際の小球の距離は,図のように2dとなります。
Bが進んだものは青と黒,Aが進んだものは赤と黒で,赤と青の時間は同じです。y方向でもいいのですが,x方向で計算したほうが楽です。赤と青の時間一致の式を立てると,
todai_2012_phy_1a_5.png

(3)
発射直後と,水平面HにB,Cが戻ってきた時でエネルギー保存則を使います。
todai_2012_phy_1a_6.png

(4)
Vが出ているのでy方向を求めればOKです。衝突時のy方向の運動量保存則より,
todai_2012_phy_1a_7.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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