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東京大学2012年前期物理第2問
図2-1のように,xy平面上に置かれた縦横の長さがともに2aの回路を一定の速さvでx軸正方向に動かす。回路の左下の点Pと右下の点Qは常にx軸上にあり,点Qの座標を(X, 0)とする。磁束密度Bの一様な磁場が,y<xの領域にのみ紙面に垂直にかけられている。導線の太さ,抵抗およびコンデンサーの素子の大きさ,導線の抵抗および回路を流れる電流が作る磁場の影響は無視できるものとして,以下の設問に答えよ。
I まず,図2-1に示した抵抗値Rの抵抗と導線からなる正方形の回路を用いる。
(1) 0<X<2aのときに回路を流れる電流の大きさを求めよ。

(2) 0<X<2aのときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。

(3) 2a<X<4aのときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。

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II 次に,設問Iで用いた回路を複数の抵抗を含む回路に取り替える。
(1) 図2-2に示した抵抗値Rの抵抗を2つ含む回路を用いた場合に対して,a<X<2aのときにPQ間の導線を流れる電流の大きさを求めよ。

(2) 図2-3に示した抵抗値Rの抵抗を3つ含む回路を用いた場合に対して,a<X<2aのときにPQ間の抵抗を流れる電流の大きさを求めよ。

III 最後に,図2-4に示した電気容量Cのコンデンサーと導線からなる回路を用いる。
(1) 0<X<2aのときに導線を流れる電流の大きさを求めよ。

(2) 2a<X<4aのときに回路が磁場から受ける力のx成分を求めよ。

todai_2012_phy_2q_2.png

解説


磁場への回路突入問題で,定石どおりに解いていきます。Φを求める(ΔΦを求める)→tで微分して(Δtで割って)起電力を求める→起電力を電池として回路を流れる電流を考える→電流によって磁場から受ける力を求める,という流れです。
これ以上でもなければこれ以下でもありませんが,IIIでは一応コンデンサーと電流の関係を押さえておく必要もあります。

(1)
上であげた流れで解きます。0<X<2aのときの磁場領域はOQ(=X)を一辺とする直角二等辺三角形となります。また磁場は一定なので,
todai_2012_phy_2a_3.png

(2)
誘導起電力は上記の通りですが,どっちにかかるかはレンツの法則で決めます。回路内のΦは増えるので減らす方向に流れようとします。つまり,Bが紙面手前向きならばQ→Pであるし,Bが紙面奥向きならP→Qです。いずれにしても,上で求めた誘導起電力にBが奇数次数で含まれているので,Bを紙面手前を正とする符号込みで考えればQ→P向きの起電力と考えてOKです。

フレミングの左手によって回路右辺(=X)にはxが負の方向にBXIの力がかかります。よって-X2B2v/R

(3)
2a<X<4aのときは下図のように上辺と左辺がX-2aとなります。計算のしやすさ的に磁場のない三角形を引くほうが楽です。(1)(2)と同様にいくと(左辺と右辺で力のかかる方向が逆であることに注意),
todai_2012_phy_2a_4.png

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II
考え方はIと同じですが,複数の閉回路が考えられるので,それぞれで生じる誘導起電力を求めてやります。

(1)
図2-2を上側の長方形と下側の長方形と分けてとらえてやります。下図のように,上側の長方形のΦはその面積が一辺をX-aとする直角二等辺三角形になるので,(X-a)の形からして微分したものもXと同じなので,I(1)のXに(X-a)を代入した誘導起電力になります。
つまり,右辺下向きに(X-a)Bvで,I(1)の答からこれを引けば下側長方形の誘導起電力が右辺下向きにaBvとでます(Φをコツコツ求めてもいいですが,こういう再利用の考え方が出来るようになって欲しいところです)。
todai_2012_phy_2a_2.png

考えた回路において正方形と下側長方形のキルヒホッフの法則より,
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(2)
誘導起電力は(1)と同じです。抵抗が一個増えていることに注意して正方形と下長方形のキルヒホッフより,
todai_2012_phy_2a_6.png

III
(1)
I(1)より誘導起電力はXBvであり,コンデンサーにはQ=XBvCの電荷が溜まっています。電流はQを時間で微分したものになるので,
todai_2012_phy_2a_7.png

(2)
電流を(1)同様に求めます。I(3)より誘導起電力は(4a-X)vBであり,Q=C(4a-X)vBなので,微分して
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I(3)と同じように左右の辺で打ち消しあうので,向きをフレミングで出しつつ計算すると,
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【参考】仕事を利用した解法
回路を等速直線運動させる力を考えると,釣り合いの関係から回路が磁場から受ける力と等しく逆向きになります。
また,仕事をしているにもかかわらず,速度,言い換えれば運動エネルギーに変化がないため,仕事が回路で消費されるジュール熱に等しくなります。
つまり,回路が磁場から受ける力をFとすると,仕事率が-Fvであり抵抗などによって生じるエネルギーロスや蓄積と等しくなるということです。

I(2)
todai_2012_phy_2a_10.png

I(3)
todai_2012_phy_2a_11.png

III(2)
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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