ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2012年前期物理第3問
複スリットによる光の干渉を利用して気体の屈折率を測定する実験について考えよう。図3のように,透明な二つの密閉容器C1,C2 (長さd)を,平面A上にある二つのスリットS1,S2 (スリット間隔a)の直前に置き,Aの後方にはスクリーンBを配置する。A,Bは互いに平行であり,その間の距離をLとする。スクリーンB上の座標軸xを,Oを原点として図3のようにとる。原点OはS1,S2から等距離にある。いま,平面波と見なせる単色光(波長λ)を,密閉容器を通してスリットに垂直に照射すると,スクリーンB上には多数の干渉縞が現れる。密閉容器の壁の厚さは無視して,以下の設問に答えよ。
I 密閉容器C1,C2両方の内部を真空にした場合,光源から二つのスリットS1,S2までの光路長は等しいため,単色光はS1,S2において同位相である。

(1) スクリーンB上の点Pのx座標をX,S1とPの距離をl1,S2とPの距離をl2としたとき,距離の差Δl=| l1-l2|を,a,L,Xを用いて表せ。ただし,Lはaや|X|よりも十分に大きいものとする。なお,|h|が1よりも十分小さければ,todai_2012_phy_3q_2.pngと近似できることを利用してよい。

(2) 点Pに明線があるとき,Xをa,L,λ,および整数mを用いて表せ。

II  C2の容器内を真空に保ったまま,C1の容器内に気体をゆっくりと入れ始めた。一般に,絶対温度T,圧力pの気体の屈折率と真空の屈折率との差は,その気体の数密度(単位体積あたりの気体分子の数)ρに比例する。

(1) 容器内の気体の圧力がpで絶対温度がTのとき,その気体の数密度ρをp,T,k (ボルツマン定数)を用いて表せ。ただし,この気体は理想気体とみなしてよい。

(2) 温度を一定に保ったままC1の容器内に気体を入れて圧力を上げると,スクリーンB上の干渉縞は,x軸の正方向,負方向のどちらに移動するか。理由を付けて答えよ。

III  C2の容器内を真空に保ったまま,C1の容器を絶対温度T,1気圧(101.3kPa)の気体で満たした。このときの気体の屈折率をnとする。

(1) C1の容器が真空状態から絶対温度T,1気圧の気体で満たされるまでに,それぞれの明線はスクリーンB上を距離ΔXだけ移動した。気体の屈折率nを,ΔXを用いて表せ。

(2) (1)で,原点OをN本の暗線が通過した後,明線が原点Oにきて止まった。気体の屈折率nを,Nを用いて表せ。

(3) 気体の屈折率を精度よく求めるには,測定値の正確さが重要になる。いま,(1)で測定したΔXは0.1mmの正確さで測定でき,(2)で測定したNは1本の正確さで数えられるとするとき,気体の屈折率は(1)の方法,(2)の方法のどちらが精度よく求められると考えられるか。理由を付けて答えよ。ただしd=2.5×102,L=5.0×102,a=5.0mm,λ=5.0×10-4mmとすること。
todai_2012_phy_3q_1.png

解説


散々使い古されたヤングの実験に屈折率を絡めただけの問題です。これが東大の受験問題として成立するということは,少し悲しいことで合ったりもします。
一番難しいのはボルツマン定数を覚えているかどうかとか言ったら怒られるのでしょうか?

I
(1)
素直にピタゴラスで計算して近似を使うだけです。LがaやXより大きいので,これがhに関わってくることを念頭において処理します(正直テンプレ問題すぎて,まともに学習していれば覚えてしまっているはずですが)。
todai_2012_phy_3a_1.png
他にもスリットからPへの角度がθとして近似する方法もあるので確認しておいてください。

(2)
光路差(これにπ/λをかけたものが合成波のtによらない係数部分の位相です)がmλというアレです。
todai_2012_phy_3a_2.png

II
(1)
ρ=nNA/Vです。ボルツマン定数(1粒子あたりのR,すなわちエネルギーに関する定数)も意識しつつ状態方程式からこれを導き出すと
todai_2012_phy_3a_3.png

(2)
容器部分も含めて位相差を出してやります。気体を入れると屈折率n(n≧1)は増加すること,屈折率は光の遅くなり具合,つまり波長の短くなり具合であり,波長がλ/nになることを把握していれば,
todai_2012_phy_3a_4.png
となり,同じmを考えてみると,nについてみるからに単調増加です(もしもっと複雑なら微分することになりますが)。
よって,正に移動します。

III
(1)
さっきII(2)で求めてしまった気がしますが,n=1の場合とnの場合で差分をとると,
todai_2012_phy_3a_5.png

(2)
まず,真空の時には明線がOにあるので,結局は明線の間隔×Nだけ移動したことになります。これがΔXなので,
todai_2012_phy_3a_6.png

(3)
正確さ(誤差)を代入するだけのお仕事です(正確さ未満は測定不能なので,正確さを代入した値までしかnは求められません。)。正確さの単位で1つ大きいものとの差分をとってやれば,
todai_2012_phy_3a_7.png
となり,(2)のNの方が小さくなり高精度ということになります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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