ひたすら受験問題を解説していくブログ
スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
東京大学2004年前期数学第1問
todai_2004_math_1q.png

解説


√が多くて計算がかなり大変な気がします。しかも,何かの機転が必要であり,個人的には難しく感じました。色々解き方もありそうですが,本ブログでは辺の傾きと頂点の対称性を活用した解法と,邪魔な文字を求めたいものaで消してやる方法を紹介しようと思います。

P,Q,Rのx座標をそれぞれ小文字のp,q,rであらわします。直線PQの式は,
todai_2004_math_1a_1.png
となり,これがy=x2と接する点がQなので,代入すると,
todai_2004_math_1a_2.png
となります。aを求めてみると,
todai_2004_math_1a_3.png
あとは正三角形になるようにするだけです。正三角形といえば角度が60度です。他の2つの辺の傾きをm,nとすれば,tanの加法定理より±60度なので,
todai_2004_math_1a_4.png
となります。さて,PQRの対称性から傾きに関して次の式が成立します(PQRの順番は結局使わないため、どうでもいいのでRPQ順として書いておきます。)
todai_2004_math_1a_5.png
aに代入します。
todai_2004_math_1a_6.png

【参考】一般化
上記の解法ならば別に√2とかいう指定は必要ありません。PQの傾きをlだとすると,
todai_2004_math_1a_9.png
という感じで任意の傾きに対して求めることが出来ます(当然l≠±1/√3です。このとき一辺がy軸に平行です)。

ちなみにこの関数を微分するとl=0,±√3で極小値2√3をとることがわかります(PQRの並びが違うだけの同じ正三角形です)。

【別解答】
aを求めるところまで本解答と同じです。PQは小さい方をPとおいてやっても問題が変わらないので,p<qとします。
p,qなど文字が多いと邪魔なので,求めたいaで表してやります。
todai_2004_math_1a_7.png
となります。あとはPを中心にQを±60度まわした点が放物線上にあるaを見つけてやればOKです。
todai_2004_math_1a_8.png
a>0より18/5
スポンサーサイト

テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

コメント
コメント
コメントの投稿
URL:
本文:
パスワード:
非公開コメント: 管理者にだけ表示を許可する
 
トラックバック
トラックバック URL
http://jukenkaisetsu.blog.fc2.com/tb.php/246-a1fe30c3
この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)
トラックバック
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。