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東京大学2004年前期数学第2問
自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。

(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し,10の位の数をa,1の位の数をbとおいたとき,a+bが偶数となるならば,bは0または4であることを示せ。

(2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し,1000の位の数,100の位の数,10の位の数,および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば,その平方数は10000で割り切れることを示せ。

解法


平方数の問題は平方後に着目するか,平方前をに着目するかです。本問題はこの両方が活用できます。また偶数(倍数)の問題は余りで表すことは基本であり,桁ごとものもは10n+mのように置く事が定石です。


(1)
平方前に着目する方法で考えます。(10n+m)2=100n2+20nm+m2となるので,a+bは結局
2mn+m2の10の位+m2の1の位
と偶奇が一致します。更に言えば
m2の10の位+m2の1の位
に一致します。0から9まですべてリストアップすると,0,1,4,9,16,25,36,49,64,81
10の位と1の位を足して偶数になるのは0,4,64のみとなります。よって,bは0または4です。

(2)
(1)を使えないかと考えてみると,(1)⊃(2)であり,1の位は0もしくは4,つまりこの平方数は10000k+0000か10000k+4444だとわかります。前者は10000で割れるのは自明なので,後者があり得ないことを示します。

もし10000k+4444型の平方数が存在するならば,この平方数は4の倍数なので
(2n)2=10000k+4444⇔n2=2500k+1111
となります。しかし,このn2は平方数かつa=1,b=1,つまりa+bが偶数となりますが,bが0でも4でもなく(1)に矛盾します。

よって,大元の平方数は10000k+0000でなければなりません。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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