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東京大学2004年前期数学第3問
半径10の円Cがある。半径3の円板Dを,円Cに内接させながら,円Cの円周に滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが,円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は,円Cを2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。

解説


これも第2問に続き,置き方が決まってくる問題で,原点からDの中心,Dの中心からPと分けてθなどの角度で考えます。


以下ではDの中心もDと呼びます。また,x軸の正方向の点をXとしておきます。
Cの中心を原点Oにとり,PがCの円弧に対して半周した時にPがX軸の正に来るように座標をとります。そして,∠DOX=θ,∠ODP=Φとします。
todai_2004_math_3a_1.png

(もちろん,下図のようにPがCと接した点をx軸上の正の点として,∠DOX=θ,ODと円Cの交点をQとし,∠QDP=Φととってもいいです。出来る図形が斜めになって見にくいですが,今回の場合だとどうせきれいにならないのでそんなには変わりませんが。)
todai_2004_math_3a_2.png

Pの座標は,ODとDPに分けて考えます。後者はDPがX軸に平行な直線となす角がΦ-θになることを利用します。また,円周の比からΦ=10θ/3であることを考慮すると,
todai_2004_math_3a_5.png

PがCにつく時はΦ=±π⇔θ=±3π/10となり,yをθで微分すると,θの取り得る範囲で単調増加なのでx(y)は1価関数になっています。小さいほうの面積はそれぞれの曲線を下添え字で表すと,
todai_2004_math_3a_4.png

もう一方はCの面積100πから引いて392π/5
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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