ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2004年前期数学第4問
todai_2004_math_4q.png


解説


こういうちょっと見慣れない問題は面を食らう人も多そうですが,繰り返し系は一つ一つの意味,各段階の関連性をしっかり整理しておけば対応可能だと思います。正直なところ,本問に設問はなくても良いのではという気もします。

(1)
教科書レベルの問題です。微分してグラフを描いて,y=aを移動させてやります。f1'=3(x-1)(x+1)=0より,3次の係数が正なので,x=-1で極大,x=1で極小です。交点などを整理してグラフを描くと以下のようになります。
todai_2004_math_4a_1.png
よって,
todai_2004_math_4a_2.png

(2)
2がf1にどう繋がるか考えます。f1はf2のx(横軸)に当たるもので,f1の値域は実数全体なので,f2の変域も実数全体です。
繋がる際に(1)で求めた範囲にf1が入るか考える必要があるので,f2の値による場合分けに加えて,そのときのf1が(1)のどの範囲に入るかも考えて場合分けする必要があります。

図を再度描くのがめんどくさいので,上のグラフにおいて,xがf1,f1がf2として考えていきます。
(i)|a|<2
グラフより,f2=aは3個のf1を持ち,それらはすべて|f1|<2です。f1=bとでもおいてやれば,(1)とグラフが1価関数であることから(1価関数でないと異なるf1=bに対して同じxを持つ可能性があります。),それぞれが3個ずつ解を持ちます。
つまり,3×3=9個です。

(ii)|a|=2
|f1|=1,2の2つの解をもちます。よって前者が3つの解,後者が2つの解で,計5個です。

(iii)|a|>2
|f1|>2のf1が1つなので,解は1個です。

(i)~(iii)より,
todai_2004_math_4a_3.png

(3)
数学的帰納法です。fn=0で考えると,fn-1=0,±√3を考えることになるので,fn-1=0だけを仮定しても示せません。こういうときは証明すべきものを必要なところまで拡張してやります。
±√3なので”|fn|<2のとき,解の個数は3n”というのが自然かと思います(これでもダメなら|fn|=2なども推測で求めて拡張する必要があります。)。

(I)n=1
(1)より解の個数は3であり,成立する。

(II)n=kで成立すると仮定
|fk+1|<2なので,(2)より,3個の異なる|fk|<2なるfkを持つ。すべてのfnはfn-1の一価関数なので,解xがダブルことはありません。よって,それら3つのfkそれぞれに3k個の解があり,計3k+1の解を持ちます。よって証明すべきものは成立します。

(I)(II)よりすべての自然数nにおいて|fn|<2ならば,解の個数は3nであり,その特殊なケースであるfn=0でも成立します。

【(3)別解答】
写像のくり返し問題では意味のある写像であることがございます。本問の写像はx=2cosθを代入してやると,
todai_2004_math_4a_4.png
となります。つまり,θを3倍する写像であるといえます。このことから,
todai_2004_math_4a_5.png
となり,|fn|≦2ならば,この解がいくつあるのかということに帰結できます。xはθの1価関数であるべきなので,0≦θ≦πで考えます。0≦3nθ≦3nπで考えればいいことになりますが,πごとに1つ解θがあることに着目すれば,3n個の解θがあることがわかります。
ここで,0≦θ≦πにおいてx=2cosθは1対1に対応していることから,解xも同じ数の3n個あることがわかります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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