ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2004年前期数学第5問
rを正の実数とする。xyz空間内の原点O(0,0,0)を中心とする半径1の球をA,点P(r,0,0)を中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし,球Aと球Bの和集合とは,球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。

(1) Vをrの関数として表し,そのグラフの概形をかけ。
(2) V=8となるとき,rの値はいくらか。四捨五入して小数第1位まで求めよ。

注意:円周率πは3.14<π<3.15をみたす。

解説


(1)は教科書レベルの問題で(2)を如何に効率よく処理するかが問われます。いい方法は思い浮かばなかったので,実際の試験なら,私は多分最後に回すか,この(2)以外で100点ぐらいとれそうだったら放置します。いくらなんでも他にいい方法があるものだと信じます。

(1)
体積を求めます。AとBはrによって重なるかどうか変わりますが,結局A∪B=A+B-A∩Bとなります。前2者は球の体積の公式通りです。A∩Bの体積を考えていきます。

(i)r≧2のとき(球の中心間の距離が2球の半径の和より大きい場合)
共通部分はなし(等号成立時は点)なので,A∩Bの体積は0です。

(ii)0<r<2のとき
共通部分は下図の着色部分のx軸回転体ですが,対称なので,斜線部の2倍で計算します。
todai_2004_math_5a_1.png
交点のx座標は対称性から中心の中点になるので,
todai_2004_math_5a_3.png

よって,(i)(ii)より
todai_2004_math_5a_4.png
また,rで微分すると,当然ながら-dV(A∩B)/drになります。本問題では普通に計算した方が早いですが,もっと複雑な場合は以下のようにするといいでしょう。
todai_2004_math_5a_5.png
グラフ化すると,
todai_2004_math_5a_2.png


(2)
V=8なるものを探し出します。四捨五入して小数第1位なので,小数第2位を0.05ずらした0.1刻みで検討することになります。全部やるのは気が遠くなるので少ない手数で出来る方法を考えます。
まず第一に,π>3なので,グラフの曲線部分に存在します。

rを色々入れることになるので整理すると
todai_2004_math_5a_6.png
となります。この真ん中をf(r)とでもしてやり,あり得る区間の1/2ぐらいの数値を代入していきます(もちろん1.5のときには結構近いので1.45を先に計算してみるとかの感覚に走ることは重要です)。f(r)の単調増加性から,あり得る区間は片方に絞れます。
todai_2004_math_5a_7.png
よってf(x)の連続性から中間値の定理によって1.45<r<1.5なるrでV=8となります。つまり,r≒1.5です。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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