ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2004年前期数学第6問
 片面を白色に,もう一方を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ,次の操作を繰り返し行う。
 さいころを振り,出た目が1,2であれば左端の板を裏返し,3,4であればまん中の板を裏返し,5,6であれば右端の板を裏返す。
 たとえば,最初,板の表の色の並び方が「白白白」であったとし,1回目の操作で出たさいころの目が1であれば,色の並び方は「黒白白」となる。さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば,色の並び方は「黒白黒」となる。

(1) 「白白白」から始めて,3回の操作の結果,色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。

(2) 「白白白」から始めて,n回の操作の結果,色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。

注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

解説


わかり易い確率の問題です。裏表系なので偶奇性に着目するといいでしょう。
別解答として,2項定理を活用した直接求める方法を記載しておきます。家庭教師で教えていて,こんな解答がきたら少しテンパリます。

(1)
黒の枚数の偶奇が操作回数の偶奇と一致し,1,2,3枚目が等確率で裏返されることから,求めたいものは「黒黒黒」の確率を1から引いたものを3で割ればよいことになります(「白黒白」も「白白黒」も同じ確率です)。

「黒黒黒」はまず初めにどれか1枚,次にそれ以外,最後に残りの1枚が出ればOKです。よって,
todai_2004_math_6a_1.png

(2)
偶奇性から偶数のとき「白白白」(1通り)もしくは「白黒黒」系列(3通り),奇数のとき「白黒白」系列(3通り)もしくは「黒黒黒」(1通り)とりえます。

「白白白」の確率,「白黒白」の確率を順に確率をP2k,P2k-1とおけば,次の漸化式が得られます(操作回数を下添え字で表しています。操作0回も「白白白」が確率1と定義し,kが自然数で成立します)。
todai_2004_math_6a_2.png

【別解答】
いつも通り誰が読むんだか謎な別解のお時間です(わかりにくい場合======以降を読むといいと思います)。今回は直接求める方法です。しかもどうせなので,1枚目のカードを裏返す確率をa,2枚目をb,三枚目をc=1-a-bとして一般化して解いてみます。

(a+b)nにおいてa最高次数を含む一個飛ばしの項の和をA(a,b,n)と定義してやります。1枚目は偶数回,2枚目はどちらでも可,3枚目は偶数回裏返るので,nの偶奇と2枚目の偶奇が一致するので(つまり2枚目,および,2枚目と3枚目を合算したものは考えている2項展開の最高次数を含む),
todai_2004_math_6a_8.png
注意:上記において00=1と定義しています。

元の問題ではa=1/3,b=1/3,c=1/3でしたので代入すると,無事,本解答で求めた通りになることが確認できます。
また,たぶんカードの種類がm枚とかでも繰り返しA(a,b,n)を利用して求まるのではないでしょうか。



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以上ですが,もう少し段階を踏んで偶奇に分けて考えてみたものを書いて置きます。
偶奇に注目してやれば,各カードが偶数回出る場合に「白白白」,つまり元に戻ります。この場合は必ずnは偶数なので,2kとします。
この確率は,1番目のカード,2番目のカード,3番目のカードの裏返しが2k回の操作のどこで出るかということなので,それぞれ2p,2q,2r=2k-2p-2q回出るとすると
todai_2004_math_6a_3.png
となります。要するに3項の展開のうちで各項が偶数回かかっているものの確率ということです。

ところで,(a+b)nの2項展開において,偶数番目と奇数番目のみの和はそれぞれいくらになるでしょうか(aの次数順に並べているとします)。a=1,b=1のときは有名で,半分の2n-1になります。anを含む奇数番目の和をAn,an-1(bが1次の項)を含む偶数番目の和をBnとでもしてやれば,
todai_2004_math_6a_4.png
nが自然数のとき成立します(a=bかつn=0では成立しないことに注意。成立させるため,ここでは00=1と定義します。)。

これを使ってやると(繰り返し使っています。また一番最後は2k乗なので,丸括弧内に-1をかけています。これは奇数の場合と表記が合うようにです。),
todai_2004_math_6a_5.png
となります。奇数の場合は,まん中だけ奇数回です(裏返し回数は2p,2q-1,2r=2k-1-2p-2q+1)。同じくAnを繰り返し使ってやると(一回目の利用でbの最高次数が含まれていることに注意。そのためBnではなくAnです。),
todai_2004_math_6a_6.png
よって,
todai_2004_math_6a_7.png

全く同じ方法で同じになっていることからも,初めに記載したように実は場合わけすらいらなかったりします。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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