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東京大学2003年前期数学第1問
todai_2003_math_1q.png

解説


与えられている条件と求めるものを簡単な順から整理するだけの問題です。計算は結構めんどくさいです。うろ覚えですが,本番は30分ぐらいかかった気がします。

(A)より,
todai_2003_math_1a_1.png
(B)は少しめんどくさそうなので後回しで積分Iを計算すると
todai_2003_math_1a_2.png
よって,aの変域を(B)から調べればいいことがわかります。
todai_2003_math_1a_3.png
左辺をg(x)とでもして,g(x)=0が-1≦x≦1で解を持たない条件という基本問題なので,まずは境界の値を調べます。(A)の値を使っても良いでしょう。g(-1)=-3,g(1)=-1です。最大次数に係数が含まれるのでいつものように場合分けします。

(i)a=3のとき
g(x)は直線で,g(-1)およびg(1)が負なので常にg(x)≦0が成立しています。

(ii)a>3のとき
g(x)は下に凸な関数です。つまり,g(-1)およびg(1)が負なので常にg(x)≦0が成立しています。

(iii)a<3のとき
これが本丸です。境界の値以外は判別式と軸が範囲に入るか否かがチェックポイントです。簡単な軸から考えると,軸が境界から外れてくれると,境界の値からg(x)≦0が成立します。
todai_2003_math_1a_4.png
よって,a≦5/2のときは判別式を考える必要があります。
todai_2003_math_1a_5.png

(i)から(iii)をすべてまとめると,
todai_2003_math_1a_6.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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