ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2003年前期数学第2問
todai_2003_math_2q.png

解説


今はなき,来年からありの複素数平面の問題です。(1)なんてものは問題を見るだけで,円じゃねえの?とわかる問題です。sin∠APBを求めろならtが絡みやすいですが,角度そのものならばtが関係なく一定になる場合がほとんどでしょう。(2)も円であることさえわかればなんてことのない問題です。

一応,座標による別解答を提示しておきますが特に面白みはないと思います。

(1)
PAとPBを複素数で表して割ってやればOKです(表記の都合上,PAでAの複素数引くPの複素数と定義します)。
todai_2003_math_2a_2.png

(2)
∠APB<πなので,PはABを円弧の長い側です。あとは他に1点通ることがわかればOKですが,Aがx軸,Bがy=x上なので,まさにOを通ることがわかります。すると,問題の点をQとしてやれば,|OQ|は直径になるときが最大です。正確にはQが弧ABの長い側に含まれることを検討する必要がありますが,∠OAB>πであることから,QがBの左回り領域,つまり長い側に含まれることがわかります(図は別解答参照)。

このときのQのx座標は6なので(∠OAQが直角なので),QA,つまりPAが実部を持たないことが条件です(以下でReは実部を表しています。また,分母や分子の定数倍は意味がないので無視しています)。
todai_2003_math_2a_3.png



【別解答】座標によるめんどくさい解法
複素数を座標に直します。
todai_2003_math_2a_4.png
きれいにしたいのでx/yで邪魔な分母を消します(注:y/xではt=7も場合分けするため面倒です。)。この際t=3とt≠3で場合分けをします。
(i)t=3のとき
(x,y)=(0、0)で原点Oです。

(ii)t≠3のとき
x/yを求めて,yに代入します。
todai_2003_math_2a_5.png
t>0という条件を入れてやります。
todai_2003_math_2a_6.png

(i)(ii)より,求める軌跡は下図になります。
todai_2003_math_2a_1.png

(1)
円周上なので∠APB=∠AOB=π/4です。

(2)
∠OAB>πよりOと直径をなす点は軌跡に含まれるので,2(3,4)=(6,8)の点だとわかります。よって,座標にそのまま代入してもいいですが,面倒なのでx/yから派生した1/tを活用します。
todai_2003_math_2a_7.png
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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