ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2003年前期数学第3問
todai_2003_math_3q.png

解説


断面を考えて積分して体積を求めるという典型的な流れですが,積分が難しくなるパターンです。今回は東大側で,どう置き換えてやれば積分できるのかを与えてくれています。そういうものは,単に面積を求められてしまう場合も多いですが,その置き換えのメリットや意味が何なのかに注目する必要があるケースもあります。

(1)
指定された断面では,Bが中心(1,0)で半径1のまま,Aが中心が原点で半径2cosθの円になります(断面を底面とする相似な円錐の高さがcosθです)。円の交点を求めると,
todai_2003_math_3a_2.png
です。ということは下図のようにθがAの円における交点の位相,2θが円Bにおける交点の位相となっていることがわかります。
todai_2003_math_3a_1.png
交点の右と左にわけて面積を考えます(扇形から三角形を足し引きします)。

右側は
todai_2003_math_3a_3.png
左側は
todai_2003_math_3a_4.png
合計は
todai_2003_math_3a_5.png

(2)
単純に積分します(わかりやすく小分けで計算していなくてすみません)。
todai_2003_math_3a_6.png

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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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