ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2003年前期数学第4問
todai_2003_math_4q.png

解説


α,βと問題文で指定があり,明らかに解と係数の関係と気づいて欲しいところです。誘導は露骨で,(1)は基本問題すぎます。

(1)
よく見る問題で,いつものように解と係数だけで表していきます。
todai_2003_math_4a_1.png

(2)
(3)的に(1)と(2)を使って(3)のα系統を求める感じだと推測できるので,普通にβを解の公式で求めてその範囲を求めます。3乗して終わりです。
todai_2003_math_4a_2.png

(3)
最大の整数じゃなく,その1の位ということは最大の整数は求めにくいのでしょう。実際に求めようとすると,(1)の漸化式を解いて,そこからβ2003を引いてやることになりますが,(1)の漸化式を解くと結局√が含まれた式になるため面倒です。
ということは何らかの形で1の位だけ求められるということであり,2003が鬼畜なぐらい大きいことからも周期性でせめられるのではと推測できます。

(1)の漸化式を使って1の位だけを順に計算してみると,snの1の位は,4,8,6,2,4,8,6,2,・・・となります。前の2項の1の位に依存するので,以下は延々と繰り返しになります。
繰り返し単位は4,8,6,2なので,n=2003では6です。
また,βの累乗は奇数ならば(2)で見たように-1と0にはさまれるので,sn-β2003の1の位は7には及ばず,6になります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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