ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2003年前期数学第5問
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解説


「100までの整数で20で割り切れる確率を求めよ」と言われれば迷う人はいないはずです。それとは当然違うのですが,同じような考え方が使えるのではと疑うべきです。また,確率を求めるときは余事象からせめた方がいいかは常に検討しましょう。難易度は(1)雑魚,(2)理IやII合格者はさすがに解けてねレベル(3)普通といった感じでしょうか。

(1)
問題を言い換えれば,「n回振って,5の倍数が少なくとも1回でる確率を求めよ」です。少なくとも系なので余事象で考え発想は普通でしょう。
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(2)
同じく言い換えれば,「n回振って,4が少なくとも1回,もしくは4を除く2の倍数が少なくとも2回でる確率を求めよ」です。これも結局,4が出ず,4を除く2の倍数が1回もしくは0回出る確率を1から引けばいいだけです。
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(3)
さて本題です。(1)かつ(2)です。(1)をA,(2)をBとでもしてやれば,求めたい1-pnは(pnからいじり始めてもいいですが,どうせ使うのはこっちなので)
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なので,AでもBでもない確率を求めればOKです。つまり(2)の余事象の計算において5がでないという制約を追加するだけです。
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あとは極限に代入するだけのお仕事です。
todai_2003_math_5a_4.png
となります。


【別解答】無理やり漸化式
20の約数的に,2パターン(5で割れない,5で割れる)×3パターン(2で割れない,2で1回のみ割れる,2で2回以上割れる)です。確率pの上付き文字を左が5で割れる回数(1回以上はひとまとめ),右が2で割れる回数(2回以上はひとまとめ)として連立漸化式を立てるとn≧0において,
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上から順に代入を繰り返して処理すると(高校数列の総まとめって感じの計算になりますが,意外にできちゃうものですね。「n=0の時,代入すると成立」とかは省略しています),
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こんなの試験中にはやってられないですね。

(1)
todai_2003_math_5a_9.png

(2)
todai_2003_math_5a_10.png

(3)
代入して計算するだけです。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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