ひたすら受験問題を解説していくブログ
東京大学2002年前期数学第2問
todai_2002_math_2q.png

解説


こちらも瞬殺した人が多数ではないでしょうか。少しばかりの工夫がいるものの,セオリー通り,整式の除法は”割られるもの=割るもの×商+余り”でやるということと,nからn+1の標準的なもって行きかたに沿ってやればそれまでです。

(1)
”割られるもの=割るもの×商+余り”の形で表すと,
todai_2002_math_2a_1.png
です。これはnなのでn+1にすることを考えると,左辺をn+1にそろえるか,右辺をn+1にそろえるかですが,左辺をそろえる操作しかあり得ません(右辺は未知数列を含むので)。単純にxをかけるだけです。
todai_2002_math_2a_2.png
xの2次の項はまだ割れるので,あまり的な部分を割ってやって恒等式で処理すれば,
todai_2002_math_2a_3.png

【別解答】
xn+2を割る最初の段階を考えると,
todai_2002_math_2a_4.png
と同じ漸化式になります。さて,n≧0に拡張しても題意に変わりはないので,それぞれの第0項と第1項を求めると(もし拡張が気になるなら第1項と第2項で求めればOKです。)
todai_2002_math_2a_5.png
となり,anの方がbnより1項早いフィボナッチ数列であることがわかります。よって,1項ずれているので,証明すべき等式の下が成立し,それをanのフィボナッチ漸化式に入れれば証明すべき上の式が出てきます。

(2)
パッと見で数学的帰納法です。
(i)n=1の時
(1)で求めたように共に1なので,正の整数であり,また共通の因数は1,つまり互いに素になります。

(ii)
n=kでakとがbkが正の整数であり,また共通の因数は1,つまり互いに素だと仮定します。(1)で証明した式(上)より,正の整数+正の整数は正の整数なので,ak+1も正の整数,bk+1はakなので正の整数となります。
また,
ak+1とbk+1が互いに素
⇔ak+bkとakが互いに素
⇔bkとakが互いに素
であり,仮定したものそのままです(⇔の行間を端折りすぎと感じるなら,1以外の共通の因数を持つとして背理法でも使えばいいと思います)。

(i)(ii)より,anとbnは共に正の整数であり,また共通の因数は1,つまり互いに素になります。
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テーマ:大学受験 - ジャンル:学校・教育

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